[论文解读] Derived Langlands III: PSH algebras and their numerical invariants

Victor Snaith|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文在p进局部域或有限域上的一般线性群的超Hecke代数上提出了一个类似Hopf代数的结构的猜想，推广了PSH代数及其数值不变量。通过Bruhat分解和双陪集分析构造了余乘积，展示了其与张量积的相容性，并通过超Hecke代数暗示了导出Langlands对应关系的更深层次代数框架。

ABSTRACT

This sequel to Derived Langlands II studies some PSH algebras and their numerical invariants, which generalise the epsilon factors of the local Langlands Programme. It also describes a conjectural Hopf algebra structure on the sum of the hyperHecke algebras of products of the general linear groups over a $p$-adic local field or a finite field.

研究动机与目标

• 将PSH代数及其数值不变量的理论推广到p进局部域或有限域上的一般线性群的超Hecke代数的语境中。
• 研究在一般线性群GL_n的超Hecke代数的直和上是否存在类似Hopf代数结构的可能性。
• 通过单性范畴和bar上同调构造，将适定表示嵌入导出范畴，以扩展导出Langlands理论的框架。
• 通过双陪集分解和诱导表示，构建超Hecke代数上的余乘积，其动机来自Segal猜想和Brauer的诱导定理。

提出的方法

• 通过双陪集代表元和对称子群上的共轭作用，在GL_n(F)的超Hecke代数上构造余乘积。
• 利用同构P_{a,n-a}/U_{a,n-a} ≅ GL_a(F) × GL_{n-a}(F)，将来自对称子群的表示下降到一般线性群。
• 组合性地应用Bruhat分解，以确保在超Hecke代数的张量积之间，乘法与余乘积映射的相容性。
• 施加一个条件，即特征((zg^{-1})^{-1})^*(φ)在幂零子群上平凡，以确保余乘积分量的良定义性。
• 将余乘积定义为从a = 0到n的求和，受限于满足特征条件的项，以保证正性和与PSH代数结构的相容性。
• 依赖于ℤ上PSH代数的结构，包括特殊基和自对偶性，以在超Hecke代数中定义正性和对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于非阿基米德局部域F，GL_n(F)的超Hecke代数能否赋予一个类似Hopf代数的结构？
• RQ2 超Hecke代数上的余乘积如何与PSH代数的张量积结构相关联？
• RQ3 Bruhat分解在构造超Hecke代数上一致余乘积的过程中起什么作用？
• RQ4 PSH代数的数值不变量（如Kondo-Gauss和）能否推广到超Hecke代数的语境中？
• RQ5 在此代数框架下，是否存在一种自然方式将来自对称子群的诱导表示提升到完整的一般线性群？

主要发现

• 超Hecke代数上的余乘积通过双陪集代表元和共轭作用定义，其分量通过商去幂零根部下降到GL_a(F) × GL_{n-a}(F)。
• 该构造确保余乘积与乘法相容，通过涉及m*, m和张量范畴中扭变T的映射复合关系得到验证。
• 余乘积被限制在((zg^{-1})^{-1})^*(φ)在U_{a,n-a} ∩ zg^{-1}Hgz^{-1}上平凡的项，以保证良定义性和正性。
• 本文证明了涉及m* ⊗ m*后接T和m × m的映射复合，与涉及m和m*的映射复合相等，确认了类似余结合性的性质。
• 该构造将GL_n(𝔽_q)上的Kondo-Gauss和推广到超Hecke代数语境，暗示其与局部Langlands计划中ε因子的联系。
• 作者猜想在所有n的有序分拆上，超Hecke代数的直和上存在一个完整的Hopf代数结构，余乘积通过Bruhat分解和特征条件定义。