[论文解读] Derived McKay correspondence for GL(3,C)

Yūjirō Kawamata|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文为 $GL(3,\mathbb{C})$ 的有限子群建立了派生 McKay 对应，推广了 Bridgeland-King-Reid 在 $SL(3,\mathbb{C})$ 情形下的结果。它表明，$\mathbb{C}^3/G$ 的等变导出范畴可分解为某些光滑仿射簇 $Z_i$（点、有理曲线或曲面）的导出范畴与商奇点 $X = \mathbb{C}^3/G$ 的最大 $\mathbb{Q}$-因子化终端化 $Y$ 的导出范畴的半正交直和，其中 $Z_i$ 由不属于 $SL(3,\mathbb{C})$ 的非平凡惯性子群参数化。该对应关系将 DK-猜想推广至非特殊线性群的情形。

ABSTRACT

We prove that the equivariant derived category for a finite subgroup of GL(3,C) has a semi-orthogonal decomposition into the derived category of a certain partial resolution, called a maximal Q-factorial terminalization, of the corresponding quotient singularity and a relative exceptional collection. This is a generalization of a result of Bridgeland, King and Reid.

研究动机与目标

• 将派生 McKay 对应从 $SL(3,\mathbb{C})$ 推广至完整的 $GL(3,\mathbb{C})$ 框架。
• 解决当 $G \not\subset SL(3,\mathbb{C})$ 时标准等价关系 $D^b([\mathbb{C}^3/G]) \cong D^b(Y)$ 失效的问题，原因在于非平凡的对数 canonical 除子差异。
• 构造 $D^b(\text{coh}([\mathbb{C}^3/G]))$ 的半正交分解，其中包含 $Z_i$ 的导出范畴与一个最大 $\mathbb{Q}$-因子化终端化 $Y$ 的导出范畴。
• 验证分解中的分量 $Z_i$ 为有理曲线或曲面，从而可进一步分解为点与曲线。

提出的方法

• 通过拉回条件 $\pi^*(K_X + B) = K_{\mathbb{C}^3}$ 在商空间 $X = \mathbb{C}^3/G$ 上定义一个 $\mathbb{Q}$-除子 $B$。
• 识别所有满足非平凡惯性子群不包含于 $SL(3,\mathbb{C})$ 的 $G$-不变真子空间 $V_j \subset \mathbb{C}^3$，并定义分解群 $D_j$ 与商群 $G_j = D_j/I_j$。
• 为对 $(X, B)$ 构造一个最大 $\mathbb{Q}$-因子化终端化 $f: Y \to X$，其为具有终端商奇点的投影双有理态射。
• 利用 DK-猜想，将对数 canonical 除子的不等式关系与一系列环面双有理变换沿导出范畴的半正交分解联系起来。
• 应用定理 8，切出对应于 $B_Y$ 的不可约分量与例外集的半正交分量，从而得到关于 $Z_i$ 上的 Deligne-Mumford 堆栈的导出范畴。
• 通过矛盾法证明分解中所有曲线均为有理曲线：若某条曲线具有正亏格，则 Hochschild 同调 $HH_1(C) \neq 0$，与导出范畴结构矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 当群非特殊线性时，派生 McKay 对应能否从 $SL(3,\mathbb{C})$ 推广至 $GL(3,\mathbb{C})$？
• RQ2 当 $G \not\subset SL(3,\mathbb{C})$ 时，光滑解析 $Y$ 在导出等价关系中由何取代？
• RQ3 当 canonical 除子非数值平凡时，商堆栈 $[\mathbb{C}^3/G]$ 的导出范畴如何分解？
• RQ4 半正交分解中出现的几何分量 $Z_i$ 是什么？其维数与结构如何？
• RQ5 分解中出现的曲线是否必为有理曲线？如何从范畴论角度证明？

主要发现

• 等变导出范畴 $D^b(\text{coh}([\mathbb{C}^3/G]))$ 允许半正交分解为 $l$ 个 $D^b(\text{coh}(Z_i))$ 的全忠实像与一个 $D^b(\text{coh}(\tilde{Y}))$ 的像，其中 $\tilde{Y}$ 是最大 $\mathbb{Q}$-因子化终端化 $Y$ 对应的光滑 Deligne-Mumford 堆栈，$Y$ 是 $(X, B)$ 的最大 $\mathbb{Q}$-因子化终端化。
• 簇 $Z_i$ 要么为点（维数 0），要么为光滑有理仿射曲线（维数 1），要么为商曲面的最小解析（维数 2），每个映射到某个 $j$ 的 $V_j/G_j$。
• 当 $G \subset SL(3,\mathbb{C})$ 时，结果退化为经典 Bridgeland-King-Reid 等价关系：$D^b([\mathbb{C}^3/G]) \cong D^b(\text{coh}(Y))$，其中 $Y$ 为光滑流形。
• 维数为 1 的曲线 $Z_i$ 为有理曲线，通过反证法证明：若任一条曲线具有正亏格，则 Hochschild 同调 $HH_1(C) \neq 0$，与导出范畴结构矛盾。
• 该分解不唯一，因为最大 $\mathbb{Q}$-因子化终端化不唯一，但定理对某些此类 $Y$ 的选择成立。
• 尽管环面结构为 étale-局部，但 $Z_i$ 的分量在 $X$ 上整体定义，原因在于沿曲线通用点处终端化的唯一性。