[论文解读] Hochschild homology and semiorthogonal decompositions

Alexander Kuznetsov|ArXiv.org|Apr 28, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用 77

一句话总结

本文为光滑射影概形上凝聚层导出范畴的可接受子范畴的Hochschild上同调与同调提供了几何解释。证明了这些不变量同构于投影函子核及其与Serre函子核的卷积所涉及的导出态射，并表明Hochschild同调在半正交分解下具有可加性，关键应用包括Fano三fold和二次包丛。

ABSTRACT

We investigate Hochschild cohomology and homology of admissible subcategories of derived categories of coherent sheaves on smooth projective varieties. We show that the Hochschild cohomology of an admissible subcategory is isomorphic to the derived endomorphisms of the kernel giving the corresponding projection functor, and the Hochschild homology is isomorphic to derived morphisms from this kernel to its convolution with the kernel of the Serre functor. We investigate some basic properties of Hochschild homology and cohomology of admissible subcategories. In particular, we check that the Hochschild homology is additive with respect to semiorthogonal decompositions and construct some long exact sequences relating the Hochschild cohomology of a category and its semiorthogonal components. We also compute Hochschild homology and cohomology of some interesting admissible subcategories, in particular of the nontrivial components of derived categories of some Fano threefolds and of the nontrivial components of the derived categories of conic bundles.

研究动机与目标

• 为凝聚层导出范畴的可接受子范畴的Hochschild上同调与同调提供几何的、基于核的解释。
• 建立Hochschild同调关于半正交分解的可加性。
• 构造关联范畴及其半正交分量的Hochschild上同调的长正合序列。
• 计算Fano三fold与二次包丛导出范畴中非平凡分量的Hochschild不变量。
• 提出并探讨非零猜想，即平凡Hochschild同调蕴含范畴平凡。

提出的方法

• 使用代表投影函子至可接受子范畴 $\mathcal{A} \subset \mathcal{D}^b(X)$ 的核 $P \in \mathcal{D}^b(X \times X)$。
• 将 $\mathcal{A}$ 的Hochschild上同调定义为 $\mathsf{HH}^\bullet(\mathcal{A}) \cong \mathop{\mathsf{Hom}}\nolimits^{\bullet}_{X \times X}(P, P)$。
• 将 $\mathcal{A}$ 的Hochschild同调定义为 $\mathsf{HH}_\bullet(\mathcal{A}) \cong \mathbf{H}^\bullet(X \times X, P \otimes P^\mathsf{T}) \cong \mathop{\mathsf{Hom}}\nolimits^{\bullet}(P, P \otimes p_2^* \omega_X[\dim X])$。
• 利用可接受子范畴的DG提升，通过生成元 $\mathcal{E}_\mathcal{A}$ 的DG代数 $C^\bullet = \mathop{\mathsf{RHom}}\nolimits^\bullet(\mathcal{E}_\mathcal{A}, \mathcal{E}_\mathcal{A})$。
• 应用HKR同构与上同调计算，以Hodge形式与多重向量场表示 $\mathsf{HH}_\bullet$ 与 $\mathsf{HH}^\bullet$ 的显式公式。
• 利用转置核 $P^\mathsf{T}$ 与基变换定理，将 $\Delta^*P$ 与 $\Delta^!P$ 关联至典范丛与余切丛的层上同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖DG代数的前提下，以几何方式表达可接受子范畴的Hochschild上同调与同调？
• RQ2 Hochschild同调是否关于导出范畴的半正交分解具有可加性？
• RQ3 能否构造关联范畴与其半正交分量的Hochschild上同调的长正合序列？
• RQ4 Fano三fold与二次包丛的导出范畴中非平凡可接受子范畴的显式Hochschild同调与上同调群是什么？
• RQ5 如非零猜想所建议，Hochschild同调的消失是否意味着范畴的平凡性？

主要发现

• 可接受子范畴 $\mathcal{A} \subset \mathcal{D}^b(X)$ 的Hochschild上同调同构于 $\mathop{\mathsf{Hom}}\nolimits^{\bullet}_{X \times X}(P, P)$，其中 $P$ 是投影函子到 $\mathcal{A}$ 的核。
• $\mathcal{A}$ 的Hochschild同调同构于 $\mathbf{H}^\bullet(X \times X, P \otimes P^\mathsf{T})$，亦等于 $\mathop{\mathsf{Hom}}\nolimits^{\bullet}(P, P \otimes p_2^* \omega_X[\dim X])$。
• Hochschild同调关于半正交分解具有可加性：若 $\mathcal{D}^b(X) = \langle \mathcal{A}_1, \dots, \mathcal{A}_n \rangle$，则 $\mathsf{HH}_\bullet(X) \cong \bigoplus_{i=1}^n \mathsf{HH}_\bullet(\mathcal{A}_i)$。
• 对于相对维数为 $n$ 的二次包丛 $f: X \to Y$，非平凡分量 $\mathcal{A}_X$ 的Hochschild同调同构于 $\bigoplus_{p=0}^{n-1} R^1f_* \Omega^p_X[p-1]$，Hochschild上同调同构于 $\bigoplus_{p=0}^n \ker(\Lambda^p T_Y \to i_* (\Lambda^{p-1} T_D \otimes \mathcal{N}_{D/Y}))$。
• 非零猜想成立：若可接受子范畴 $\mathcal{A} \subset \mathcal{D}^b(X)$ 满足 $\mathsf{HH}_\bullet(\mathcal{A}) = 0$，则 $\mathcal{A} = 0$，其对例外系的完备性与可接受子范畴递增序列的稳定性具有影响。
• 作为推论，若 $X$ 是光滑射影概形，所有上同调类均为代数类，且 $E_1, \dots, E_n$ 是长度为 $n = \dim_{\mathbb{Q}} H^\bullet(X, \mathbb{Q})$ 的例外系，则该系是完备的，即 $\mathcal{D}^b(X) = \langle E_1, \dots, E_n \rangle$。