[论文解读] Deriving peridynamic influence functions for one-dimensional elastic materials with periodic microstructure

Xiao Xu, John T. Foster|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2020

Numerical methods in engineering参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文提出一种基于物理的方法，通过在周期性微观结构的一维弹性材料中使用多项式待定解法对微尺度弹性动力学方程进行均质化，推导出非局部影响函数。由此得到的离散影响函数基于微观结构特性，其波动力学预测精度显著优于标准的线性衰减影响函数，且更高阶的多项式近似可进一步提升精度，同时保持计算效率。

ABSTRACT

The influence function in peridynamic material models has a large effect on the dynamic behavior of elastic waves and in turn can greatly effect dynamic simulations of fracture propagation and material failure. Typically, the influence functions that are used in peridynamic models are selected for their numerical properties without regard to physical considerations. In this work, we present a method of deriving the peridynamic influence function for a one-dimensional initial/boundary value problem in a material with periodic microstructure. Starting with the linear local elastodynamic equation of motion in the microscale, we first use polynomial anzatzes to approximate microstructural displacements and then derive the homogenized nonlocal dynamic equation of motion for the macroscopic displacements; which, is easily reformulated as linear peridyamic equation with a discrete influence function. The shape and localization of the discrete influence function is completely determined by microstructural mechanical properties and length scales. By comparison with a highly resolved microstructural finite element model and the standard linear peridynamic model with a linearly decaying influence function, we demonstrate that the influence function derived from microstructural considerations is more accurate in predicting time dependent displacements and wave dynamics.

研究动机与目标

• 开发一种系统化的方法，基于微观结构力学而非启发式选择来推导非局部影响函数。
• 提升非局部模型在预测非均质材料中时间相关位移和波传播行为方面的精度。
• 证明基于微观结构的影响函数在波动力学中优于标准的线性衰减核函数。
• 建立微观尺度非均匀性与非局部核函数形式之间的关联。
• 为将该方法推广至高维及非周期性微观结构提供基础。

提出的方法

• 在周期性单元胞内使用多项式待定解法近似微观位移。
• 从微尺度弹性动力学方程推导宏观位移的均质化非局部动力学方程。
• 将均质化方程重新表述为具有离散影响函数的线性非局部动力学方程。
• 基于微观结构的力学性能和尺寸参数计算影响函数，得到符号可变的核函数。
• 通过与高度解析的有限元模型（FEM）和标准非局部模型（线性衰减核）对比，验证所推导核函数的准确性。
• 采用更高阶多项式近似以提升精度并评估收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地从非均质材料的微观结构推导出非局部影响函数？
• RQ2 与标准非局部模型相比，基于微观结构的影响函数对波动力学精度有何影响？
• RQ3 多项式待定解法的阶数如何影响所推导影响函数的精度？
• RQ4 基于微观结构的影响函数是否能减少波色散并提升动态断裂模拟的保真度？
• RQ5 在Horizon趋于零的极限下，所推导的影响函数与经典均质化理论相比如何？

主要发现

• 基于微观结构的影响函数在预测中点位移和波动力学方面，显著优于标准线性衰减非局部核函数。
• 更高阶多项式待定解法（最高至六阶）可提升精度，但四阶以上提升幅度已趋平缓。
• 所推导的影响函数为离散且符号可变，与已知可减少波色散的非局部核函数形式一致。
• 尽管自由度远少于全解析有限元模型，基于所推导核函数的非局部模型在波动力学模拟中精度更高。
• 在Horizon趋于零的极限下，该方法与局部均质化理论一致，验证了其渐近正确性。
• 尽管方法具有非局部特性，但基于微观结构推导的非局部模型计算成本低于高度解析的有限元模型。