[论文解读] Descriptive Proximities I: Properties and interplay between classical proximities and overlap

A. Di Concilio, C. Guadagni+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2016

Advanced Algebra and Logic参考文献 7被引用 7

一句话总结

本论文提出了一套描述性邻近性的理论框架，这是一种基于探测函数的特征描述的视觉邻近性形式。通过分析特征空间交集、经典邻近性及重叠关系之间的相互作用，建立了两种描述性邻近性层次——弱于Peters邻近性与强于Peters邻近性，证明了这两种形式均能诱导出自然拓扑。

ABSTRACT

The theory of descriptive nearness is usually adopted when dealing with sets that share some common properties even when the sets are not spatially close, i.e., the sets have no members in common. Set description results from the use of probe functions to define feature vectors that describe a set and the nearness of sets is given by their proximities. A probe on a non-empty set $X$ is a real-valued function $Φ: X ightarrow \mathbb{R}^n$, where $Φ(x)= (ϕ_1(x),.., ϕ_n(x))$. We establish a connection between relations on an object space $X$ and relations on the feature space $Φ(X).$ Having as starting point the Peters proximity, two sets are \emph{descriptively near}, if and only if their descriptions intersect. In this paper, we construct a theoretical approach to a more visual form of proximity, namely, descriptive proximity, which has a broad spectrum of applications. We organize descriptive proximities on two different levels: weaker or stronger than the Peters proximity. We analyze the properties and interplay between descriptions on one side and classical proximities and overlap relations on the other side.

研究动机与目标

• 将描述性邻近性形式化为基于特征描述的经典邻近性的推广。
• 研究描述性邻近性、经典邻近性以及特征空间中重叠关系之间的相互作用。
• 基于描述性交集，建立两种不同的描述性邻近性层次——弱于Peters邻近性和强于Peters邻近性。
• 证明两种描述性邻近关系均可通过Kuratowski闭包算子诱导出自然拓扑。
• 阐明描述性关系满足Lodato邻近性公理的条件。

提出的方法

• 定义探测函数 $\Phi: X \to \mathbb{R}^n$，从非空集合 $X$ 中的对象提取特征向量，以实现基于描述的分析。
• 引入描述性交集 $A \mathop{\cap}\limits_{\Phi} B = \{x \in A \cup B : \Phi(x) \in \Phi(A) \cap \Phi(B)\}$，作为描述性邻近性的基础。
• 基于交集与特征重叠，构建两种描述性邻近形式：$\delta_\Phi$（较弱）和 $\mathop{\delta_\Phi}\limits^{\doublewedge}$（较强）。
• 利用集合交集的 $\Phi$-拉回定义Peters邻近性 $\pi_\Phi$，并与描述性邻近关系进行比较。
• 通过特征分量上的投影与交集定义描述性关系 $\beta_\Phi$ 和 $\eta_\Phi$。
• 采用重叠方法，定义 $A \mathrel{\delta_\Phi} B$ 当且仅当 $e(\Phi(A)) \cap e(\Phi(B)) \neq \emptyset$，其中 $e$ 是满足可加性与扩展性的扩展算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过特征描述将描述性邻近性形式化为经典邻近性的推广？
• RQ2 描述性交集与Peters邻近性等经典邻近关系之间存在何种关系？
• RQ3 描述性邻近性的较弱与较强形式在公理性质与拓扑行为上如何不同？
• RQ4 基于重叠的描述性邻近性在何种条件下满足Lodato邻近性公理？
• RQ5 描述性邻近关系是否能诱导出自然拓扑？若能，其特征如何？

主要发现

• 当且仅当两个集合描述性邻近时，描述性交集 $A \mathop{\cap}\limits_{\Phi} B$ 非空，这确立了描述性邻近性的核心判据。
• 通过特征空间重叠定义的关系 $\delta_\Phi$ 满足Lodato公理 $D_0, D_1, D_2, D_4$ 及 $D_3$ 的一个方向，因此构成有效的描述性Lodato邻近性。
• 更强的形式 $\mathop{\delta_\Phi}\limits^{\doublewedge}$ 满足全部五个Lodato公理 $S_0$ 到 $S_4$，确认其为强描述性邻近性。
• 由 $\beta_\Phi$ 诱导的拓扑由Kuratowski闭包算子 $Cl_{\beta_\Phi}(A) = \bigcap_{i=1}^n \Phi_i^{-1}(\Phi_i(A))$ 表征，将特征层面的闭包与集合闭包联系起来。
• 关系 $\gamma_\Phi$（定义为 $A \mathrel{\gamma_\Phi} B$ 当且仅当 $\exists i$ 使得 $\Phi_i(A) \cap \Phi_i(B) \neq \emptyset$）不是Lodato邻近性，因其违反了 $D_3$ 公理。
• 当使用凸包作为扩展算子时，$A \mathrel{\delta_\Phi} B$ 当且仅当 $\text{conv}(\Phi(A)) \cap \text{conv}(\Phi(B)) \neq \emptyset$，该条件满足除一个方向外的所有 $D_3$ 条件，表明其在完整Lodato条件上存在部分失效。