[论文解读] Determinants on von Neumann algebras, Mahler measures and Ljapunov exponents

Christopher Deninger|ArXiv.org|Dec 5, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文为由遍历作用关联的交叉积冯诺依曼代数中的算子建立了弗格莱德-卡达森行列式的公式，将其表达为相关可测上链的李亚普诺夫指数的函数。关键结果推广了林德与施密特关于海森堡群作用的熵公式，表明对数行列式等于在圆周上对正李亚普诺夫指数之和的积分，该结果在离散海森堡群冯诺依曼代数中的非交换多项式中有应用。

ABSTRACT

For an ergodic measure preserving action on a probability space, consider the corresponding crossed product von Neumann algebra. We calculate the Fuglede-Kadison determinant for a class of operators in this von Neumann algebra in terms of the Ljapunov exponents of an associated measurable cocycle. The proof is based on recent work of Dykema and Schultz. As an application one obtains formulas for the Fuglede-Kadison determinant of noncommutative polynomials in the von Neumann algebra of the discrete Heisenberg group. These had been previously obtained by Lind and Schmidt via entropy considerations.

研究动机与目标

• 计算由保测遍历作用产生的交叉积冯诺依曼代数中一类算子的弗格莱德-卡达森行列式。
• 通过奥赛列杰茨乘法遍历定理，将行列式与可测上链的李亚普诺夫指数联系起来。
• 通过泛函分析方法推导林德与施密特关于离散海森堡群代数作用的熵公式。
• 将行列式公式推广至海森堡群群冯诺依曼代数中的非交换多项式。

提出的方法

• 在具有忠实正规有限测度的有限冯诺依曼代数中使用弗格莱德-卡达森行列式。
• 对与算子 $ \rho $ 关联的矩阵上链 $ A_{\rho} $ 应用奥赛列杰茨乘法遍历定理。
• 利用戴克马与舒尔茨关于阿尔图盖变换与布朗测度的工作，将行列式与李亚普诺夫指数关联。
• 通过马尔格里斯方法将一般情形约化为连续情形，利用唯一遍历系统中的一致收敛性。
• 使用离散海森堡群的冯诺依曼代数 $ \mathcal{N}\Gamma $ 的直积分分解为旋转代数 $ \mathcal{R}_\zeta $。
• 对可分解算子应用迹公式 $ \log\det_{\mathcal{M}}\Phi = \int_Z \log\det_{\mathcal{M}_\zeta}\Phi_\zeta \, d\mu(\zeta) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何计算离散海森堡群冯诺依曼代数中非交换多项式 $ \Phi $ 的弗格莱德-卡达森行列式？
• RQ2 可测上链的李亚普诺夫指数与交叉积冯诺依曼代数中弗格莱德-卡达森行列式之间的确切关系是什么？
• RQ3 林德与施密特关于代数 $ \Gamma $-作用的熵公式能否通过冯诺依曼代数技术推导得出？
• RQ4 在何种条件下，对数行列式等于李亚普诺夫指数正部的积分？
• RQ5 冯诺依曼代数的直积分分解下，行列式的行为如何？

主要发现

• 对于离散海森堡群的复群环中的 $ \Phi = 1 - a(y,z)x $，对数弗格莱德-卡达森行列式为 $ \int_{S^1} \left( \int_{S^1} \log|a(\eta,\zeta)| \, d\mu(\eta) \right)^+ \, d\mu(\zeta) $。
• 对于一般情形 $ \Phi = \sum_{i=0}^N a_i(y,z)x^i $，对数行列式为 $ \int_{S^1} \sum_j r_j(\zeta) \chi_j(\zeta)^+ \, d\mu(\zeta) $，其中 $ \chi_j(\zeta) $ 是矩阵 $ A_{\Phi_\zeta} $ 的李亚普诺夫指数，$ r_j(\zeta) $ 为重数。
• 该公式几乎处处在 $ S^1 $ 上成立，且对 $ \mu $-几乎处处的 $ \zeta $，有 $ \log|a(\cdot,\zeta)| \in L^1(S^1) $，确保可积性。
• 通过遍历理论技术将可测系数函数 $ a_i $ 的情形约化为连续情形，从而推广至非连续系数。
• 该行列式公式与熵计算一致：$ \log\det_{\mathcal{N}\Gamma}\Phi = h_\Phi $，即 $ \Gamma $-作用在 $ \mathbb{Z}\Gamma / \mathbb{Z}\Gamma\Phi $ 的庞特里亚金对偶上的熵。
• 在 $ \mathcal{R}_\zeta $ 中 $ \Phi_\zeta $ 的酉性等价于对 $ \mu $-几乎处处的 $ \zeta $，有 $ \int_{S^1} \log|a(\eta,\zeta)| \, d\mu(\eta) \neq 0 $。