[论文解读] Determination of convection terms and quasi-linearities appearing in diffusion equations

Pedro Caro, Yavar Kian|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2018

Numerical methods in inverse problems参考文献 46被引用 16

一句话总结

本文通过侧表面边界测量，建立了抛物型扩散方程中一般对流项和拟线性项的唯一恢复。利用Carleman估计和类似Green函数的解，证明了时间与空间依赖的一阶系数及非线性项的唯一性，为Lipschitz定义域上非光滑情形下的一个开放逆问题提供了部分解决方案。

ABSTRACT

We consider the highly nonlinear and ill-posed inverse problem of determining some general expression $F(x,t,u, abla_xu)$ appearing in the diffusion equation $\partial_tu-Δ_x u+F(x,t,u, abla_xu)=0$ on $Ω imes(0,T)$, with $T>0$ and $Ω$ a bounded open subset of $\mathbb R^n$, $n\geq2$, from measurements of solutions on the lateral boundary $\partialΩ imes(0,T)$. We consider both linear and nonlinear expression of $F(x,t,u, abla_xu)$. In the linear case, the equation can be seen as a convection-diffusion equation and our inverse problem corresponds to the unique recovery, in some suitable sense, of a time evolving velocity field associated with the moving quantity as well as the density of the medium in some rough setting described by non-smooth coefficients on a Lipschitz domain. In the nonlinear case, we prove the recovery of more general quasi-linear expression appearing in a nonlinear parabolic equation associated with more complex model. Here the goal is to determine the underlying physical low of the system associated with our equation. In this paper, we consider for what seems to be the first time the unique recovery of a general vector valued first order coefficient, depending on both time and space variable. Moreover, we provide results of full recovery of some general class of quasi-linear terms admitting evolution inside the system independently of the solution from measurements at the boundary. These last results improve earlier works of Isakov in terms of generality and precision. In addition, our results give a partial positive answer, in terms of measurements restricted to the lateral boundary, to an open problem posed by Isakov in his classic book ( extit{Inverse Problems for Partial Differential Equations}) extended to the recovery of quasi-linear terms.

研究动机与目标

• 解决从边界测量唯一确定抛物型PDE中一般对流项和拟线性项的逆问题。
• 通过在非光滑Lipschitz定义域中恢复时间与空间依赖的向量场及非线性项，拓展先前结果。
• 为Isakov提出的关于从侧边界数据恢复拟线性项的开放问题提供部分肯定答案。
• 建立一大类独立于解演化的非线性项的唯一性，优于早期工作。
• 仅使用侧边界测量，证明对对流-扩散方程和非线性抛物方程中系数的唯一确定性。

提出的方法

• 在负阶Sobolev空间中使用Carleman估计，构造具有特定渐近行为的复几何光学（GO）解。
• 采用线性化程序，将拟线性逆问题转化为一系列线性逆问题。
• 应用抛物方程的唯一延拓性质，推导出系数恢复中误差项的消失。
• 将Dirichlet-to-Neumann（DN）映射作为测量算子，将数据限制在侧边界Σ上。
• 构造具有振荡相位的解，通过渐近分析提取系数信息。
• 依赖于GO解展开和边界迹分析所得出的一阶与零阶系数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 当向量场 $ A(x,t) $ 为时间与空间依赖且非光滑时，能否从侧边界测量中唯一恢复一般对流项 $ A(x,t) \cdot \nabla_x u $？
• RQ2 能否从边界数据中唯一确定依赖于 $ u $ 和 $ \nabla_x u $ 的拟线性项 $ F(x,t,u,\nabla_x u) $，包括其导数？
• RQ3 在仅使用侧边界测量而无全区域数据的情况下，非线性抛物方程的逆问题在多大程度上可被求解？
• RQ4 在Lipschitz定义域上，非光滑系数的存在如何影响此类逆问题中系数恢复的唯一性？
• RQ5 该结果能否扩展至恢复独立于解演化的系数，超越先前工作的范围？

主要发现

• 本文证明了即使 $ A $ 为非光滑且时间依赖时，也能从侧边界测量中唯一恢复对流-扩散方程中的向量场 $ A(x,t) $。
• 建立了从边界数据中唯一确定拟线性项 $ F(x,t,u,\nabla_x u) $，扩展了以往仅限于时间不变或抽象定义非线性项的结果。
• 作者证明了 $ \partial_u F_1(x,t,0,0) = \partial_u F_2(x,t,0,0) $ 与 $ \partial_v F_1(x,t,0,0) = \partial_v F_2(x,t,0,0) $，意味着线性化系数的完整恢复。
• 利用抛物方程的唯一延拓性质，该方法证明了解的差值消失，从而得出线性化系统中 $ A_1 = A_2 $ 与 $ q_1 = q_2 $。
• 结果为Isakov在2017年著作第9.6题中提出的开放问题（关于从侧边界数据恢复拟线性项）提供了部分解决方案。
• 该框架允许在定义域仅为Lipschitz且系数属于 $ L^\infty $ 的情况下恢复系数，显著拓宽了逆方法的应用范围。