[论文解读] H\\"older stably determining the time-dependent electromagnetic potential of the Schr\\"odinger equation
本文在已知磁势散度的假设下，建立了从解的边界测量中对薛定谔方程中时变与空变电磁势的 Hölder 稳定恢复。通过复几何光学解与 Bukhgeim-Klibanov 方法，作者推导出 Hölder 型稳定性估计，显著优于演化方程反问题中通常存在的对数稳定性。
We consider the inverse problem of determining the time and space dependent electromagnetic potential of the Schr\\"odinger equation in a bounded domain of $\\mathbb R^n$, $n\\geq 2$, by boundary observation of the solution over the entire time span. Assuming that the divergence of the magnetic potential is fixed, we prove that the electric potential and the magnetic potential can be H\\"older stably retrieved from these data, whereas stability estimates for inverse time-dependent coefficients problems of evolution partial differential equations are usually of logarithmic type.
研究动机与目标
- 解决从解的边界观测中确定薛定谔方程中时变与空变电磁势的反问题。
- 通过固定磁势的散度以克服规范不变性障碍，实现对势函数在规范等价意义下的唯一恢复。
- 为该反问题建立 Hölder 型稳定性估计，其强于演化 PDE 反问题中通常采用的对数稳定性。
- 将现有关于薛定谔方程反系数问题中稳定性的结果扩展至具有更高正则性与更优稳定性的时变电磁势。
提出的方法
- 使用具有振荡相位的复几何光学（CGO）解，构造薛定谔方程的特殊解。
- 利用 Bukhgeim-Klibanov 方法，通过 Carleman 估计与解的差值的能量估计推导稳定性估计。
- 应用规范变换方法，将问题转化为磁势散度被固定的设定。
- 利用插值与 Sobolev 嵌入，将势函数的 $L^\infty$ 范数以 DN 映射差值的 $L^2$ 范数表示。
- 利用 DN 映射差值对电势与磁势的傅里叶变换建立估计。
- 通过优化频率 $\tau$、波向量 $\xi$ 及正则化参数，平衡各项误差，实现 Hölder 稳定性。
实验结果
研究问题
- RQ1能否从解的边界测量中稳定重构薛定谔方程中的时变与空变电磁势？
- RQ2该反问题可达到何种类型的稳定性估计？其与演化 PDE 反问题中通常采用的对数稳定性相比有何差异？
- RQ3固定磁势的散度如何影响重构的唯一性与稳定性？
- RQ4能否通过边界数据在薛定谔方程中实现时变电磁势的 Hölder 稳定性？
- RQ5复几何光学解与 Bukhgeim-Klibanov 方法在实现更优稳定性估计中起到何种作用？
主要发现
- 作者为从 Dirichlet-to-Neumann 映射恢复时变与空变电磁势的反问题建立了 Hölder 型稳定性估计。
- 稳定性估计的形式为 $\|A\|_{L^2(0,T;H^5(\Omega))^n} \leq C \epsilon^r$ 与 $\|q\|_{L^2(Q)} \leq C \|\Lambda_{A_1,q_1} - \Lambda_{A_2,q_2}\|^r$，其中 $r = \frac{1}{346 + 9n}$，表明其具有 Hölder 稳定性。
- 该结果优于演化方程反问题中通常存在的对数稳定性，实现了更强的 Hölder 型界。
- 稳定性估计在已知磁势散度的假设下导出，该假设打破了规范不变性，从而实现唯一恢复。
- 证明依赖于复几何光学解的构造，以及利用 DN 映射差值控制频率域中势函数的手段。
- 最终的稳定性估计通过优化参数化构造中的参数，并在 Carleman 估计框架中平衡误差项而获得。
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