[论文解读] Deterministic and probabilistic algorithms for stabilizing discrete-time switched linear systems

Atreyee Kundu, Niranjan Balachandran+1 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2014

Formal Methods in Verification参考文献 30被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于加权有向图的确定性和概率性算法，用于在离散时间切换线性系统中合成稳定切换信号。通过将切换信号建模为图上的行走路径，并应用图论与基于鞅的分析方法（包括Azuma不等式），作者建立了稳定性充分条件，并提供了稳定切换序列存在概率的 probabilistic 上界，扩展了以往关于无平均驻留时间约束的渐近切换条件的研究。

ABSTRACT

In this article we study algorithmic synthesis of the class of stabilizing switching signals for discrete-time switched linear systems proposed in [12]. A weighted digraph is associated in a natural way to a switched system, and the switching signal is expressed as an infinite walk on this weighted digraph. We employ graph-theoretic tools and discuss different algorithms for designing walks whose corresponding switching signals satisfy the stabilizing switching conditions proposed in [12]. We also address the issue of how likely/generic it is for a family of systems to admit stabilizing switching signals, and under mild assumptions give sufficient conditions for the same. Our solutions have both deterministic and probabilistic flavours.

研究动机与目标

• 解决具有可能不稳定子系统的离散时间切换线性系统的稳定切换信号的算法合成问题。
• 确定此类稳定切换信号存在的条件，特别是当所有子系统并非均为Schur稳定时。
• 基于切换信号的渐近性质，开发用于检测或设计稳定切换序列的确定性与概率性算法。
• 在较弱假设下，利用概率工具（如Azuma不等式）量化稳定切换信号存在的可能性。
• 通过提供计算上可行的、基于图的稳定切换信号验证与构造方法，扩展[12]的框架。

提出的方法

• 将切换系统建模为加权有向图（有向图），其中节点代表子系统，边代表子系统之间的转换。
• 通过[12]中推导出的渐近条件，在有向图上定义一类稳定切换信号，其形式为满足特定渐近性质的无限行走，避免使用逐点驻留时间约束。
• 利用图论工具识别稳定子系统子图（$\mathcal{P}_S$）中长度至少为$\lfloor \Phi(|\mathcal{P}_S|) \rfloor$的环路。
• 对行走的权重过程应用Doob分解，将其分离为一个鞅与一个严格递减的补偿项，从而支持概率分析。
• 在鞅分量上应用Azuma不等式，推导出总权重超过零的概率上界，从而确保系统以高概率保持稳定。
• 设计算法1，用于检测$\mathcal{P}_S$中满足长度要求的环路，这些环路对应于稳定切换序列。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一类离散时间切换线性系统存在满足[12]中渐近条件的稳定切换信号？
• RQ2 如何以计算高效的方式算法化地检测或合成此类稳定切换信号？
• RQ3 随机选择的切换信号（作为加权有向图上的行走路径）导致系统稳定的概率是多少？
• RQ4 加权有向图的结构——特别是稳定子系统的入度——如何影响稳定切换序列的存在性与可能性？
• RQ5 在缺乏平均驻留时间约束的条件下，Azuma不等式等概率工具能否有效用于界定稳定切换信号的失败概率？

主要发现

• 若稳定子系统子图（$\mathcal{P}_S$）中存在长度至少为$\lfloor \Phi(|\mathcal{P}_S|) \rfloor$的环路，则存在稳定切换信号，其中$\Phi$为系统渐近性质的函数。
• 算法1可检测$\mathcal{P}_S$中此类环路，从而提供一种确定性方法用于构造稳定切换信号。
• 在加权有向图上进行的随机行走导致稳定切换信号的概率上界为$\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{(α-β)\sqrt{n}}{A+B}\right)^2\right)$，其中$\alpha < \beta$为权重参数，$n$为环路长度。
• 失败概率的上界随环路长度的平方根呈指数衰减，表明更长的环路显著提高了系统稳定的概率。
• 所提方法避免了半定规划或平均驻留时间约束，为现有方法提供了数值更简单的替代方案。
• 该框架即使在部分子系统不稳定的情况下依然适用，前提是稳定子系统在有向图表示中构成一个充分丰富且连通的子图。