[论文解读] Deterministic Weighted Expander Decomposition in Almost-linear Time

Jason Li, Thatchaphol Saranurak|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2021

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 11被引用 4

一句话总结

本论文提出了首个在具有顶点需求的图上实现加权展开图分解的确定性准线性时间算法，扩展了此前针对无权图的研究。通过将谱稀疏化和BalCutPrune技术推广至处理边权和自定义顶点需求，该算法在 $ m \cdot (mU)^{O(1/r)} \log(mU) $ 时间内实现了 $(\epsilon, \psi)$-展开图分解，其中 $\psi = \Omega(\epsilon / \log^{O(r^4)}m \cdot \log U)$，达到与最佳已知随机化算法相当的界，但具备完全的确定性。

ABSTRACT

In this note, we study the expander decomposition problem in a more general setting where the input graph has positively weighted edges and nonnegative demands on its vertices. We show how to extend the techniques of Chuzhoy et al. (FOCS 2020) to this wider setting, obtaining a deterministic algorithm for the problem in almost-linear time.

研究动机与目标

• 将确定性展开图分解扩展至具有任意顶点需求的加权图，这一设置此前在确定性准线性时间算法中尚未被解决。
• 将[CGL+20]中的谱稀疏化和BalCutPrune技术推广至处理边权和顶点需求。
• 在具有需求的加权图中实现一个具有准线性时间复杂度的确定性算法，用于 $(\epsilon, \psi)$-展开图分解。
• 弥合此推广设置下随机化与确定性算法之间的差距，此前甚至在该设置下也未证明存在随机化准线性时间解法。

提出的方法

• 通过使用顶点需求和边权重新定义稀疏性，将BalCutPrune框架扩展至加权图。
• 引入一种需求加权稀疏性度量 $\Psi_G^\mathbf{d}(S) = \frac{w(E_G(S, V\setminus S))}{\min\{\mathbf{d}(S), \mathbf{d}(V\setminus S)\}}$，以捕捉在自定义顶点需求下的展开性。
• 使用一个确定性谱稀疏化算法 $\mathtt{SpectralSparsify}$，在 $m^{1+O(1/r)} \cdot (\log m)^{O(r^2)} \log U$ 时间内构建出具有 $O(n \log n \log U)$ 条边的近似图。
• 应用一种递归聚类策略，维护活跃与非活跃聚类，修剪低稀疏性组件，同时确保所有切割中的总边权保持在 $\epsilon \cdot \mathbf{d}(V)$ 以内。
• 引入参数 $r$ 以控制近似因子与运行时间之间的权衡，其中近似因子为 $\alpha = (\log m)^{O(r^4)}$。
• 迭代应用展开图分解子程序于活跃聚类，根据需求平衡和稀疏性合并或分裂聚类，由于每步需求呈常数因子减少，共进行 $O(\log(mU))$ 次迭代。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将确定性准线性时间展开图分解算法扩展至具有任意顶点需求的加权图？
• RQ2 在该推广设置下，是否可能在保持完全确定性的同时，实现与随机化算法相同的近似保证？
• RQ3 如何调整谱稀疏化和BalCutPrune方法，以在分解过程中同时保留边权和顶点需求？
• RQ4 在此推广设置下，近似质量与运行时间之间的权衡是什么？是否可优化至接近线性时间？
• RQ5 能否使算法对任意顶点需求分布具有鲁棒性，同时保持总切割权重有界？

主要发现

• 该算法在 $m \cdot (mU)^{O(1/r)} \log(mU)$ 时间内计算出 $(\epsilon, \psi)$-展开图分解，对任意固定 $r$ 实现了准线性复杂度。
• 展开参数满足 $\psi = \Omega\left(\epsilon / \left(\log^{O(r^4)}m \cdot \log U\right)\right)$，与最佳已知随机化界一致。
• 所有切割中边的总权重被限制在 $\epsilon \cdot \mathbf{d}(V)$ 以内，确保了分解的 $(\epsilon, \psi)$-有效性。
• 该算法完全确定性，解决了文献中此前未建立的空白：即使在该推广设置下，也未证明存在随机化准线性时间解法。
• 该方法依赖于一种新颖的确定性谱稀疏化技术与递归聚类精炼策略，由于每步需求呈指数减少，共进行 $O(\log(mU))$ 次迭代。
• 该方法将先前针对无权展开图分解的工作推广至目前已知最一般的情形：具有任意顶点需求的加权图。