[论文解读] Deterministic Graph Cuts in Subquadratic Time: Sparse, Balanced, and k-Vertex

Yu Gao, Jason Li+4 more|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 80被引用 6

一句话总结

本文首次提出了在亚二次时间内计算平衡稀疏割和 k-顶点连通性的确定性算法，打破了长期存在的二次时间瓶颈。通过结合一种新型的割-匹配游戏变体、基于扩张图的图稀疏化，以及利用 PageRank 矩阵和 J-树的递归方法，作者在稀疏图上实现了平衡稀疏割的 O(m^{1.5+o(1)}) 时间复杂度，并在 k = O(polylog n) 时实现了 k-顶点连通性的亚二次时间算法。

ABSTRACT

We study deterministic algorithms for computing graph cuts, with focus on two fundamental problems: balanced sparse cut and $k$-vertex connectivity for small $k$ ($k=O(\polylog n)$). Both problems can be solved in near-linear time with randomized algorithms, but their previous deterministic counterparts take at least quadratic time. In this paper, we break this bound for both problems. Interestingly, achieving this for one problem crucially relies on doing so for the other. In particular, via a divide-and-conquer argument, a variant of the cut-matching game by [Khandekar et al.`07], and the local vertex connectivity algorithm of [Nanongkai et al. STOC'19], we give a subquadratic time algorithm for $k$-vertex connectivity using a subquadratic time algorithm for computing balanced sparse cuts on sparse graphs. To achieve the latter, we improve the previously best $mn$ bound for approximating balanced sparse cut for the whole range of $m$. This starts from (1) breaking the $n^3$ barrier on dense graphs to $n^{ω+ o(1)}$ (where $ω< 2.372$) using the the PageRank matrix, but without explicitly sweeping to find sparse cuts; to (2) getting the $ ilde O(m^{1.58})$ bound by combining the $J$-trees by [Madry FOCS `10] with the $n^{ω+ o(1)}$ bound above, and finally; to (3) getting the $m^{1.5 + o(1)}$ bound by recursively invoking the second bound in conjunction with expander-based graph sparsification. Interestingly, our final $m^{1.5 + o(1)}$ bound lands at a natural stopping point in the sense that polynomially breaking it would lead to a breakthrough for the dynamic connectivity problem.

研究动机与目标

• 弥合随机近线性时间算法与确定性二次时间算法之间在基础图割问题上的长期差距。
• 在稀疏图上，开发出首个平衡稀疏割与 k-顶点连通性的确定性亚二次时间算法。
• 通过建立求解 k-顶点连通性与计算低导出率平衡割之间的紧密依赖关系来实现这一目标。
• 打破在所有图密度下近似平衡稀疏割的 m·n 时间界限，最终实现 O(m^{1.5+o(1)}) 时间复杂度的算法。
• 表明若能进一步改进 m^{1.5+o(1)} 的时间界限，将意味着动态连通性问题的重大突破。

提出的方法

• 设计一种基于近似低导出率割作为子程序的确定性割-匹配游戏变体。
• 使用基于扩张图的图稀疏化技术，递归地减小图的规模，同时保持关键的割性质。
• 应用 PageRank 矩阵在稠密图上以 n^{ω+o(1)} 时间计算低导出率割，其中 ω < 2.372。
• 将 J-树与基于 PageRank 的方法结合，实现稀疏图上 O(m^{1.58}) 的时间复杂度。
• 采用分治策略，将 k-顶点连通性问题约化为多个平衡稀疏割计算。
• 利用 Nanongkai 等人（STOC’19）提出的局部顶点连通性算法作为递归框架中的核心原 primitive。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在亚二次时间内计算平衡稀疏割与 k-顶点连通性的确定性算法？
• RQ2 顶点割的何种结构特性使得通过扩张图嵌入与基于体积的分析能够实现高效的确定性计算？
• RQ3 如何将割-匹配游戏适配为在低导出率割近似下工作的确定性版本？
• RQ4 是否存在一个自然的复杂度阈值，对应于动态连通性等其他问题的突破？
• RQ5 是否可以利用顶点扩张与边导出率之间的相互作用，推导出确定性的亚二次时间算法？

主要发现

• 本文在稀疏图上计算最平衡的低导出率割时，实现了 O(m^{1.5+o(1)}) 的时间复杂度，优于先前的 O(mn) 界限。
• 对于稠密图，该算法在 n^{ω+o(1)} 时间内运行，其中 ω < 2.372，打破了平衡稀疏割近似问题的 n^3 时间瓶颈。
• 通过将 k-顶点连通性约化为多个平衡稀疏割计算，实现了 k = O(polylog n) 时的亚二次时间算法。
• 最终的 m^{1.5+o(1)} 时间界限被证明是一个自然的终点，因为进一步改进它将意味着动态连通性问题的重大突破。
• 该算法保持了 Ω(β)-平衡性与 Ω(Φ_in)-扩张性，确保所计算的割既平衡又具有低导出率。
• 分析证明，所得割的顶点扩张度为原始导出率的 Ω(Φ_G^{in}) 倍，从而保持了割的质量。