[论文解读] DG coalgebras as formal stacks

Vladimir Hinich|ArXiv.org|Dec 6, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文在特征零域上的无界 dg 余交换余代数范畴上建立了单纯闭模型范畴结构，推广了 Quillen 于 1969 年对 2-约化的余代数所建立的模型。它构造了 dg 余代数与 dg 李代数之间的伴随函子，该伴随函子诱导出其同伦范畴之间的等价，使得 dg 余代数可被解释为形式堆栈，其切李代数唯一确定了该堆栈在弱等价意义下的结构。

ABSTRACT

The category of unital (unbounded) dg cocommutative coalgebras over a field of characteristic zero is provided with a structure of simplicial closed model category. This generalizes the model structure defined by Quillen in 1969 for 2-reduced coalgebras. In our case, the notion of weak equivalence is structly stronger than that of quasi-isomorphism. A pair of adjoint functors connecting the category of coalgebras with the category of dg Lie algebras, induces an equivalence of the corresponding homotopy categories. The model category structure allows one to consider dg coalgebras as very general formal stacks. The corresponding Lie algebra is then interpreted as a tangent Lie algebra which defines the formal stack uniquely up to a weak equivalence. An example of the coalgebra of formal deformaions of a principal $G$-bundle on a scheme $X$ is calculated.

研究动机与目标

• 将 Quillen 对 2-约化 dg 余代数的模型结构推广至特征零域上无界、单位元的 dg 余交换余代数的一般情形。
• 在 dg 余代数范畴中定义一种弱等价概念，其严格强于拟同构。
• 建立 dg 余代数与 dg 李代数之间的伴随函子，使其诱导出其同伦范畴之间的等价。
• 将 dg 余代数解释为形式堆栈，其中关联的李代数作为堆栈的切李代数。
• 显式计算在概形 X 上主 G-丛的形式形变 dg 余代数。

提出的方法

• 在特征零域上的单位元、无界 dg 余交换余代数范畴上构造一个单纯闭模型范畴结构。
• 将此模型结构中的弱等价定义为：在应用 cobar 构造后诱导出拟同构的态射。
• 利用 cobar 与 bar 构造，建立 dg 余代数与 dg 李代数之间的一对伴随函子。
• 证明该伴随函子诱导出相应同伦范畴之间的等价。
• 利用 dg 余代数的同伦理论，将其解释为形式堆栈，其中切李代数编码了形式堆栈的结构。
• 使用结构群 G 的李代数，显式计算概形 X 上主 G-丛的形式形变 dg 余代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在特征零域上的无界 dg 余交换余代数范畴上定义模型范畴结构？
• RQ2 dg 余代数范畴中弱等价与拟同构之间存在何种关系？
• RQ3 dg 余代数与 dg 李代数之间的伴随函子能否诱导出其同伦范畴之间的等价？
• RQ4 dg 余代数在多大程度上可被解释为形式堆栈？这种解释与它们的切李代数有何关联？
• RQ5 在概形 X 上主 G-丛的形式形变 dg 余代数的显式形式是什么？

主要发现

• 在特征零域上的单位元、无界 dg 余交换余代数范畴上构造了一个单纯闭模型范畴结构。
• 此模型结构中的弱等价严格强于拟同构，从而在同伦理论视角下与导出范畴视角相区分。
• dg 余代数与 dg 李代数之间的伴随函子诱导出其同伦范畴之间的等价。
• 证明了 dg 余代数可表示为形式堆栈，其关联的 dg 李代数作为切李代数，唯一确定了堆栈在弱等价下的分类。
• 显式计算了概形 X 上主 G-丛的形式形变 dg 余代数，结果为 G 的李代数的 cobar 构造。
• 与 dg 余代数相关联的形式堆栈，其在弱等价意义下的唯一性由其切李代数完全确定。