[论文解读] DG quotients of DG categories

Vladimir Drinfeld|ArXiv.org|Oct 8, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文为微分graded范畴发展了导出商（DG商）的理论，将Verdier的三角化商推广到DG设定。它提供了两种构造方法——一种在平坦性假设下通过解析实现，另一种通过新的类似局部化的方法——证明DG商在拟等价意义下唯一，并通过导范畴中的锥构造刻画其Hom复形。

ABSTRACT

Keller introduced a notion of quotient of a differential graded category modulo a full differential graded subcategory which agrees with Verdier's notion of quotient of a triangulated category modulo a triangulated subcategory. This work is an attempt to further develop his theory. More than a half of the text is devoted to an overview of "well known" definitions and results. As a result, the e-print is essentially self-contained.

研究动机与目标

• 将Keller的DG商理论扩展为更系统化且自包含的框架。
• 通过在DG范畴设定下工作，克服经典三角化商的局限性，保留更多同伦信息。
• 为DG范畴关于全DG子范畴的DG商提供典范构造。
• 通过导出张量积和锥构造，刻画DG商的Hom复形。
• 建立DG商在拟等价意义下的唯一性，使其在导出代数几何与同调代数中可一致使用。

提出的方法

• 当平坦性条件不成立时，引入一种基于DG范畴解析的新DG商构造方法。
• 采用受Dwyer-Kan启发的类似局部化方法，相比Keller的原始方法简化了构造过程。
• 利用DG范畴的ind-版本定义正交补，确保商的性质良好。
• 将DG商的Hom复形刻画为锥：$\operatorname{Cone}(h_Y \buildrel L\over{\otimes}_{{\mathcal{B}}} \tilde{h}_X \to \operatorname{Hom}(X,Y))$。
• 通过同伦等价与拟等价建立DG商的唯一性，从而可使用“the”DG商。
• 依赖于DG范畴关联的三角化范畴（$\mathcal{A}^{\operatorname{tr}}$），将DG商与经典Verdier商联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地构造一个DG范畴关于全DG子范畴的导出商？
• RQ2 此类DG商中Hom复形的同调结构是什么？
• RQ3 DG商在何种意义下是唯一的？它与经典三角化商有何关系？
• RQ4 当满足平坦性假设或对非平坦范畴进行解析时，DG商构造的行为如何？
• RQ5 DG商能否通过导出函子和$A_\infty$-结构来刻画？

主要发现

• 对于小DG范畴$\mathcal{A}$关于全DG子范畴$\mathcal{B}$的DG商始终存在，且在拟等价意义下唯一。
• 在平坦性假设下，可通过直接“杀死”$\mathcal{B}$中的对象来构造DG商，从而简化构造过程。
• DG商中Hom复形的典范同构于映射$h_Y \buildrel L\over{\otimes}_{{\mathcal{B}}} \tilde{h}_X \to \operatorname{Hom}(X,Y)$的锥，其中$h_Y$与$\tilde{h}_X$为相关的DG模。
• DG商构造诱导出一个等价关系$\mathcal{A}^{\operatorname{tr}} / \mathcal{B}^{\operatorname{tr}} \to \mathcal{C}^{\operatorname{tr}}$，将其与经典Verdier商联系起来。
• 该理论允许定义良好且典范的DG商，使其在导出代数几何与$A_\infty$-范畴理论中可一致使用。
• DG商与导出函子相容，并为通过Keller模型或Kontsevich模型定义$T(\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2)$提供了框架。