[论文解读] Grothendieck groups in extriangulated categories

Bin Zhu, Xiao Zhuang|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文证明，在局部有限的外三角范畴中，Grothendieck 群 $K_0(\mathscr{C})$ 的关系由 Auslander-Reiten $\mathbb{E}$-三角形生成，推广了模范畴和三角范畴中的已知结果。此外，本文进一步证明了包含生成元 $\mathcal{G}$ 的像的 $K_0(\mathscr{C})$ 的子群与稠密的 $\mathcal{G}$-(co)可解子范畴之间存在一一对应关系，将三角范畴和正合范畴中的分类结果推广至更广泛的外三角范畴设置。

ABSTRACT

The aim of the paper is to discuss the relation subgroups of the Grothendieck groups of extriangulated categories and certain other subgroups. It is shown that a locally finite extriangulated category $\C$ has Auslander-Reiten $\E-$triangles and the relations of the Grothendieck group $K_{0}(\C)$ are generated by the Auslander-Rieten $\E-$triangles. A partial converse result is given when restricting to the triangulated categories with a cluster tilting subcategory: in the triangulated category $\C$ with a cluster tilting subcategory, the relations of the Grothendieck group $K_0(\C)$ are generated by Auslander-Reiten triangles if and only if the triangulated category $\C$ is locally finite. It is also shown that there is a one-to-one correspondence between subgroups of $K_{0}(\C)$ containing the image of $\mathcal G$ and dense $\mathcal G-$(co)resolving subcategories of $\C$ where $\mathcal G$ is a generator of $\C,$ which generalizes results about classifying subcategories of a triangulated \cite{t} or an exact category $\C$ \cite{m} by subgroups of $K_{0}(\C)$.

研究动机与目标

• 研究外三角范畴中 Grothendieck 群的结构，特别是 Auslander-Reiten $\mathbb{E}$-三角形如何生成关系。
• 将三角范畴和正合范畴中通过 $K_0(\mathscr{C})$ 的子群对子范畴进行分类的结果推广至更广泛的外三角范畴设置。
• 建立包含生成元 $\mathcal{G}$ 的像的 $K_0(\mathscr{C})$ 的子群与稠密的 $\mathcal{G}$-(co)可解子范畴之间的一一对应关系。

提出的方法

• 将 Grothendieck 群 $K_0(\mathscr{C})$ 定义为对象的同构类生成的自由交换群关于所有 $\mathbb{E}$-三角形 $A \to B \to C \to \Sigma A$ 的关系 $[A] + [C] - [B]$ 生成的子群的商群。
• 利用局部有限外三角范畴的概念，证明 Auslander-Reiten $\mathbb{E}$-三角形的存在性。
• 通过映射 $f(\mathscr{X}) = \langle[X] \mid X \in \mathscr{X}\rangle$ 和 $g(H) = \{A \in \mathscr{C} \mid [A] \in H\}$，建立包含生成元 $\mathcal{G}$ 的像的 $K_0(\mathscr{C})$ 的子群与稠密的 $\mathcal{G}$-(co)可解子范畴之间的对应关系。
• 证明在具有簇倾斜子范畴的三角范畴中，$K_0(\mathscr{C})$ 的关系由 Auslander-Reiten 三角形生成当且仅当该范畴是局部有限的。
• 利用 Krull-Schmidt 性质和函子有限性分析可解与共可解子范畴的结构。
• 将正合范畴和三角范畴中的结果作为特例应用，以证明该框架的一致性与普遍性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在局部有限的外三角范畴中，Grothendieck 群 $K_0(\mathscr{C})$ 的关系是否由 Auslander-Reiten $\mathbb{E}$-三角形生成？
• RQ2 在外三角范畴中，是否存在包含生成元 $\mathcal{G}$ 的像的 $K_0(\mathscr{C})$ 的子群与稠密的 $\mathcal{G}$-(co)可解子范畴之间的一一对应关系？
• RQ3 在具有簇倾斜子范畴的三角范畴中，$K_0(\mathscr{C})$ 的关系由 Auslander-Reiten 三角形生成当且仅当该范畴是局部有限的吗？
• RQ4 通过 $K_0(\mathscr{C})$ 的子群对子范畴的分类结果，如何从三角范畴和正合范畴推广至更一般的外三角范畴设置？
• RQ5 在 $K_0(\mathscr{C})$ 中，子范畴为稠密且 $\mathcal{G}$-(co)可解的条件是什么？

主要发现

• 在局部有限的外三角范畴 $\mathscr{C}$ 中，Grothendieck 群 $K_0(\mathscr{C})$ 的关系由对应于 Auslander-Reiten 序列的 $\mathbb{E}$-三角形生成。
• 对于具有簇倾斜子范畴的三角范畴，存在一个部分逆命题：$K_0(\mathscr{C})$ 的关系由 Auslander-Reiten 三角形生成当且仅当 $\mathscr{C}$ 是局部有限的。
• 存在包含生成元 $\mathcal{G}$ 的像的 $K_0(\mathscr{C})$ 的子群与 $\mathscr{C}$ 的稠密 $\mathcal{G}$-(co)可解子范畴之间的一一对应关系。
• 该对应关系推广了三角范畴 [T] 和正合范畴 [M] 中的已知结果，将其扩展至外三角范畴的设置。
• 对于 $\mathscr{C}$ 中的任意对象 $A$，若存在 $\mathbb{E}$-三角形 $A_1 \to G \to A \to \Sigma A_1$ 满足 $G \in \mathcal{G}$，则对任意包含 $\mathcal{G}$ 的子群 $H$，均有 $g(H)$ 在 $\mathscr{C}$ 中稠密。
• 子范畴与子群之间的映射 $f$ 和 $g$ 互为逆映射，建立了完全忠实的对应关系，且保持 $\mathcal{G}$-(co)可解子范畴的结构。