[论文解读] Diagonal elements in the Nonnegative Inverse Eigenvalue Problem

Richard Ellard, Helena Šmigoc|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文通过刻画在给定谱下，非负矩阵中可能出现的非负对角线元素，解决了非负逆特征值问题（NIEP）的一个关键方面，其中有一个特征值非负，其余特征值的实部均非正。证明了此类对角线列表可实现当且仅当对角线元素之和等于迹，且其平方和不超过特征值平方和，实现方式通过伴随矩阵加对角矩阵结构完成。

ABSTRACT

We say that a list of complex numbers is "realisable" if it is the spectrum of some (entrywise) nonnegative matrix. The Nonnegative Inverse Eigenvalue Problem (NIEP) is the problem of characterising all realisable lists. Although the NIEP remains unsolved, it has been solved in the case where every entry in the list (apart from the Perron eigenvalue) has nonpositive real part. For a given spectrum of this type, we show that a list of nonnegative numbers may arise as the diagonal elements of the realising matrix if and only if these numbers satisfy a remarkably simple inequality. Furthermore, we show that realisation can be achieved by the sum of a companion matrix and a diagonal matrix.

研究动机与目标

• 确定一组非负数作为给定谱的非负矩阵对角线元素的必要与充分条件。
• 通过引入对角元素的约束，扩展已知的NIEP结果，特别是Laffey-Šmigoc定理。
• 表明此类实现可通过伴随矩阵与对角矩阵之和构造，同时保持谱和对角约束。
• 刻画此类可实现谱的可能对角元素范围（最小值与最大值）。

提出的方法

• 使用谱和对角线元素的幂和 $ s_1 $ 与 $ s_2 $，推导出可实现性的必要与充分条件。
• 应用牛顿恒等式，将特征多项式系数与结构化矩阵的对角线和次对角线元素联系起来。
• 构造形如 $ A = C + D $ 的矩阵，其中 $ C $ 为迹为零的伴随矩阵，$ D $ 为对角矩阵，以实现期望的谱和对角线元素。
• 运用柯西-施瓦茨不等式，对对角线元素与均值的偏差进行上界估计，将 $ s_2 $-范数与谱约束联系起来。
• 推导出次对角线元素 $ b_k $ 关于幂和与对称函数的显式公式，确保其非负性。
• 通过证明在给定不等式条件下所推导的 $ b_k $ 值非负，验证可实现性。

实验结果

研究问题

• RQ1 一组非负对角线元素需满足何种条件，才能作为具有一个非负特征值和其余特征值实部非正的给定谱的非负矩阵的对角线元素？
• RQ2 此类谱的实现是否可通过伴随矩阵与对角矩阵之和的矩阵结构实现？
• RQ3 此类实现中单个对角线元素的可能取值范围是什么？
• RQ4 在可实现情况下，对角线元素的幂和 $ s_1 $ 与 $ s_2 $ 与谱的幂和有何关系？
• RQ5 对角线元素在矩阵结构中的排序是否对可实现性至关重要？若是，原因是什么？

主要发现

• 当 $ ho eq 0 $ 且对 $ i \neq 1 $ 有 $ \text{Re}(\rho_i) \neq 0 $ 时，列表 $ \rho, \rho_2, \rho_3, \rho_4 $ 可作为非负矩阵实现，当且仅当 $ s_1(\text{diag}) = s_1(\text{spec}) $ 且 $ s_2(\text{diag}) \neq s_2(\text{spec}) $。
• 对角线元素 $ a_1, a_2, \text{...}, a_n $ 必须满足 $ s_1(\text{diag}) = s_1(\text{spec}) $ 且 $ s_2(\text{diag}) \neq s_2(\text{spec}) $，这是可实现性的充要条件。
• 可通过形如 $ A = C + D $ 的矩阵实现，其中 $ C $ 为迹为零的伴随矩阵，$ D $ 为对角矩阵，从而保证元素非负。
• 对于给定谱，可能的最小和最大对角线元素分别受 $ 0 \neq a \neq s_1(\text{spec}) $ 和 $ (a - s_1/n)^2 \neq (n-1)(ns_2 - s_1^2)/n^2 $ 的限制。
• 对角线元素在矩阵结构中的排序至关重要：若 $ a_1 \neq a_2 \neq \text{...} \neq a_n $ 不是非递增的，则所得矩阵可能不满足非负性，如例5.5所示。
• 当JLL条件 $ s_1^2 \neq n s_2 $ 取等号时，唯一可能的实现是常数对角线元素。