[论文解读] Diagrammes canoniques et representations modulo $p$ de $\GL_2(F)$

Yongquan Hu|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文为非阿基米德局部域 $F$ 上 $ \mathrm{GL}_2(F)$ 的不可约光滑表示在 $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上引入了一种典范图示构造，其中 $p$ 为剩余特征的素数。证明了原始表示在同构意义下完全由该图示确定，并在关键情形下显式计算了该图示，特别是当 $F = \mathbb{Q}_p$ 或 $\pi$ 非上超奇异时。

ABSTRACT

Let $p$ be a prime number and $F$ a local field with residual characteristic $p$. In this article, to an irreducible smooth representation of $GL_2(F)$ over $\bar{\mathbf{F}}_p$ with central character, we associate canonically a diagram which determines the original representation up to isomorphism. We also determine it in some cases.

研究动机与目标

• 建立一个典范图示不变量，以对 $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上具有中心特征的不可约光滑 $\mathrm{GL}_2(F)$-表示进行分类。
• 将 Paškūnas 的图示框架扩展，以显式从其图示不变量重构表示。
• 阐明图示的有限性性质与表示的可归一性或有限表示性的关系。
• 在非上超奇异情形及 $F = \mathbb{Q}_p$ 情形下，显式计算典范图示。
• 研究 $I_1$-不变子空间的结构及其在确定图示分量中的作用。

提出的方法

• 定义典范图示 $D(\pi) = (D_0(\pi), D_1(\pi), \mathrm{can})$，其中 $D_1(\pi) = \pi^{I_1}$ 且 $D_0(\pi) = \langle KZ \cdot D_1(\pi) \rangle$。
• 使用从图示范畴到光滑 $G$-表示的函子 $H_0$，证明 $H_0(D(\pi)) \cong \pi$。
• 利用在 Bruhat-Tits 树上的系数系统理论及 $I_1$-不变子空间分析 $D_1(\pi)$ 的结构。
• 利用 Hecke 算子 $T$ 和 $S$ 在表示上的作用，计算不变子空间与滤子。
• 利用 Frobenius 的互反性及紧致诱导的结构，将 $D_1(\pi)$ 与 $\pi$-不变子空间联系起来。
• 通过在 $F = \mathbb{Q}_p$ 及非上超奇异表示情形下的显式计算，验证图示重构的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从典范图示中同构地重构具有中心特征的 $\mathrm{GL}_2(F)$-表示（在 $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上）？
• RQ2 在原始表示 $\pi$ 的术语下，$D_1(\pi)$（即 $I_1$-不变子空间）的精确结构是什么？
• RQ3 图示分量的有限性条件如何与 $\pi$ 的可归一性及有限表示性相关联？
• RQ4 $D_1(\pi) = \pi^{I_1}$ 在何种条件下成立？何时有 $D_1(\pi) = \pi$？
• RQ5 在 $F = \mathbb{Q}_p$ 或非上超奇异表示的情形下，能否显式计算典范图示？

主要发现

• 存在自然同构 $H_0(D(\pi)) \cong \pi$，证明典范图示 $D(\pi)$ 在同构意义下完全确定了 $\pi$。
• $D_1(\pi) = \pi^{I_1}$ 恒成立；若 $F$ 的特征为 $p$ 且 $\pi$ 为上超奇异表示，则 $D_1(\pi) = \pi$。
• 当 $F = \mathbb{Q}_p$ 时，$D_1(\pi) = \pi^{I_1}$ 成立，且图示可显式计算。
• $D_1(\pi)$ 为有限维、$\pi$ 允许有限表示、$\pi$ 允许标准表示这三个条件彼此等价。
• 若上述任一有限性条件成立，则 $\pi$ 是可归一的，且空间 $I^+(\pi)^{\left(\begin{smallmatrix}1&\mathcal{O}\\0&1\end{smallmatrix}\right)}$ 为有限维。
• 在非上超奇异情形下，$D_1(\pi) = \pi^{I_1}$，且图示由 $I_1$-不变子空间及其 $KZ$-张成空间构造而成。