[论文解读] Diameter of Ramanujan Graphs and Random Cayley Graphs with Numerics

Naser T. Sardari|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2015

Analytic Number Theory Research参考文献 1被引用 4

一句话总结

本论文建立了 $(p+1)$-正则 LPS Ramanujan 图直径的下界 $\lfloor \frac{4}{3}\log_p(n) \rfloor$，同时表明在任意 $k$-正则 Ramanujan 图中，仅有可忽略的顶点对距离超过 $(1+\epsilon)\log_{k-1}(n)$。数值实验表明，LPS 图的直径渐近趋近于 $\frac{4}{3}\log_{k-1}(n)$，而随机 Cayley 图的直径渐近趋近于 $\log_{k-1}(n)$，支持 Sarnak 的覆盖指数猜想与强逼近猜想。

ABSTRACT

For an infinite family of $(p+1)$-regular LPS Ramanujan graphs, we show that the diameter of these graphs is greater than or equal to $ \lfloor \frac{4}{3}\log_{p}(n) floor$, where $p$ is an odd prime number and $n$ is the number of vertices. On the other hand, for any $k$-regular Ramanujan graph we show that the distance of only tiny fraction of all pairs of vertices is greater than $(1+\epsilon)\log_{k-1}(n)$. We also have some numerical experiments for LPS Ramanujan graphs and random Cayley graphs which suggest that the diameters are asymptotically $\frac{4}{3}\log_{k-1}(n)$ and $\log_{k-1}(n)$, respectively. These are consistent with Sarnak's expectation on the covering exponent of universal quantum gates and our conjecture for the optimal strong approximation for quadratic forms in 4 variables.

研究动机与目标

• 利用谱图论与数论性质，确定 LPS Ramanujan 图直径的紧下界。
• 研究 $k$-正则 Ramanujan 图中距离的分布，特别是距离超过 $(1+\epsilon)\log_{k-1}(n)$ 的顶点对所占比例。
• 提供数值证据，支持 LPS Ramanujan 图的渐近直径增长率为 $\frac{4}{3}\log_{k-1}(n)$，以及随机 Cayley 圖的渐近直径增长率为 $\log_{k-1}(n)$。
• 将这些图论结果与深层数论猜想联系起来，包括 Sarnak 对通用量子门覆盖指数的猜想，以及四元二次型的强逼近性质。

提出的方法

• 利用 Ramanujan 图的谱隙性质，通过特征值界与扩展性质推导直径的下界。
• 应用 Moore 界与正则图的对数增长估计，分析距离分布。
• 对不同 $p$ 与 $k$ 的显式 LPS Ramanujan 图与随机 Cayley 圖进行直径的数值计算。
• 将观测到的直径与理论渐近预测进行比较，以评估猜想的收敛性与有效性。
• 利用 Ramanujan 性质（$\lambda_2 \leq 2\sqrt{k-1}$）确保最优扩展性，并指导直径估计。
• 利用 LPS 圖中的 $p$-进数与算术群结构，推导最短路径的结构约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于无限族 $(p+1)$-正则 LPS Ramanujan 图，其最小可能直径是多少？能否给出下界？
• RQ2 在 $k$-正则 Ramanujan 圖中，有多少顶点对的距离超过 $(1+\epsilon)\log_{k-1}(n)$？这一数量占总数的比例是多少？
• RQ3 LPS Ramanujan 圖与随机 Cayley 圖的直径是否分别渐近趋近于 $\frac{4}{3}\log_{k-1}(n)$ 与 $\log_{k-1}(n)$？
• RQ4 这些图中观测到的直径行为是否支持 Sarnak 对通用量子门覆盖指数的猜想？
• RQ5 这些图的直径增长是否与四元二次型的强逼近性质存在关联？

主要发现

• $(p+1)$-正则 LPS Ramanujan 圖的直径被下界 $\lfloor \frac{4}{3}\log_p(n) \rfloor$ 所限制，确立了一个非平凡的下界。
• 对于任意 $k$-正则 Ramanujan 圖，仅有可忽略的顶点对距离超过 $(1+\epsilon)\log_{k-1}(n)$，表明其具有近乎最优的扩展性。
• 数值实验表明，LPS Ramanujan 圖的直径渐近增长为 $\frac{4}{3}\log_{k-1}(n)$，与理论下界一致。
• 随机 Cayley 圖的数值结果表明，其直径渐近趋近于 $\log_{k-1}(n)$，与正则图的 Moore 界相符。
• 观测到的直径行为支持 Sarnak 对通用量子门覆盖指数的猜想，该猜想要求高效生成酉算子。
• 研究结果为四元二次型最优强逼近猜想提供了数值与理论证据，将图的直径与算术几何联系起来。