[论文解读] Diffeologies, Differential Spaces, and Symplectic Geometry

Jordan Watts|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 17

一句话总结

本文证明了微分同胚空间与微分空间的交集同构于弗罗利彻空间，为商空间和分层空间上的光滑结构提供了统一框架。它将微分同胚形式应用于几何商和辛商，表明其与施马尔的微分形式及轨道丛形式等价，并证明光滑分层空间构成具有局部完备向量场族的子卡蒂埃空间的全子范畴。

ABSTRACT

Diffeological and differential spaces are generalisations of smooth structures on manifolds. We show that the "intersection" of these two categories is isomorphic to Frölicher spaces, another generalisation of smooth structures. We then give examples of such spaces, as well as examples of diffeological and differential spaces that do not fall into this category. We apply the theory of diffeological spaces to differential forms on a geometric quotient of a compact Lie group. We show that the subcomplex of basic forms is isomorphic to the complex of diffeological forms on the geometric quotient. We apply this to symplectic quotients coming from a regular value of the momentum map, and show that diffeological forms on this quotient are isomorphic as a complex to Sjamaar differential forms. We also compare diffeological forms to those on orbifolds, and show that they are isomorphic complexes as well. We apply the theory of differential spaces to subcartesian spaces equipped with families of vector fields. We use this theory to show that smooth stratified spaces form a full subcategory of subcartesian spaces equipped with families of vector fields. We give families of vector fields that induce the orbit-type stratifications induced by a Lie group action, as well as the orbit-type stratifications induced by a Hamiltonian group action.

研究动机与目标

• 通过识别其范畴交集，统一光滑结构的推广形式——微分同胚空间、微分空间与弗罗利彻空间。
• 证明紧致李群作用的几何商上的微分同胚形式同构于基本形式以及辛约化中的施马尔微分形式。
• 证明光滑分层空间可完全表征为具有局部完备向量场族的子卡蒂埃空间。
• 构造由李群与哈密顿群作用诱导的向量场族，以恢复轨道型分层结构。
• 比较微分同胚形式与轨道丛形式，证明其上同调复形同构。

提出的方法

• 通过从 R^n 的开子集出发的光滑图族定义微分同胚空间，确保其相容性与局部性。
• 通过实值光滑函数族定义微分空间，要求在限制下封闭并满足层条件。
• 建立从带有向量场族的子卡蒂埃空间范畴到具有图册的光滑流形范畴的函子。
• 利用局部微分同胚与坐标图，证明子卡蒂埃空间上的光滑函数源于 R^n 上光滑函数的拉回。
• 应用主丛上基本形式的理论，证明其与商空间上微分同胚形式的等价性。
• 在子卡蒂埃空间上构造向量场族，以从群作用中恢复轨道型分层结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 微分同胚空间与微分空间的范畴交集是什么？它与弗罗利彻空间有何关系？
• RQ2 紧致李群作用的几何商上微分同胚形式与基本形式及辛约化中施马尔形式的关系如何？
• RQ3 光滑分层空间能否被完全表征为具有局部完备向量场族的子卡蒂埃空间？
• RQ4 由李群作用诱导的向量场族是否能重现商空间的轨道型分层结构？
• RQ5 轨道丛上的微分同胚形式是否与标准轨道丛微分形式在上同调复形上同构？

主要发现

• 微分同胚空间与微分空间范畴的交集同构于弗罗利彻空间范畴。
• 紧致李群作用的几何商上微分同胚形式同构于主丛上基本微分形式复形。
• 在正则值处进行辛约化时，商空间上的微分同胚形式作为复形同构于施马尔的微分形式复形。
• 轨道丛上微分同胚形式诱导的上同调复形同构于标准轨道丛德拉姆复形。
• 光滑分层空间构成具有局部完备向量场族的子卡蒂埃空间的全子范畴。
• 由李群作用在流形上诱导的向量场族可生成商空间的轨道型分层结构，哈密顿群作用情形亦同。