[论文解读] Diffeology: A Concrete Foundation for Stacks

Jordan Watts, Seth Wolbert|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用 1

一句话总结

本文通過證明從具體層（即微分空間）到堆的Grothendieck構造具有左伴隨函子，從而確立了微分空間作為堆的具體基礎：該左伴隨函子將每個堆映射到其微分空間粗模空間。主要貢獻在於，透過代表性李群叢，建立了可微堆上的基本微分形式與其軌道空間上的微分形式之間的等價關係。

ABSTRACT

In this paper, we consider diffeological spaces as stacks over the site of smooth manifolds, as well as the underlying diffeological space of any stack. More precisely, we consider diffeological spaces as so-called concrete sheaves and show that the Grothendieck construction sending these sheaves to stacks has a left adjoint: the functor sending any stack to its diffeological coarse moduli space. As an application, we restrict our attention to differentiable stacks and examine the geometry behind the coarse moduli space construction in terms of Lie groupoids and their principal bundles. Additionally, we define basic differential forms for stacks and confirm in the differentiable case that these agree (under certain conditions) with basic differential forms on a representative Lie groupoid. These basic differentiable forms in turn match the diffeological forms on the orbit space.

研究动机与目标

• 確立微分空間作為光滑流形範疇上的具體層。
• 證明從具體層到堆的Grothendieck構造具有左伴隨函子，從而對任意堆賦予其微分空間粗模空間。
• 在可微堆與李群叢的背景下，分析粗模空間的幾何性質。
• 定義並特徵化堆上的基本微分形式，並與軌道空間上的形式建立聯繫。

提出的方法

• 將微分空間建模為光滑流形範疇上的具體層。
• 應用Grothendieck構造，將具體層與堆關聯起來。
• 構造一個左伴隨函子，將每個堆映射到其微分空間粗模空間。
• 透過李群叢表示可微堆，並分析其主叢性質。
• 利用代表性李群叢的結構，定義堆上的基本微分形式。
• 證明在適當條件下，堆上的基本微分形式與其代表性李群叢軌道空間上的微分形式完全一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 微分空間在代數幾何與微分拓撲中如何作為堆的具體基礎？
• RQ2 在具體層與堆的背景下，Grothendieck構造及其左伴隨函子之間的精確關係為何？
• RQ3 可微堆上的基本微分形式與其軌道空間上的形式有何關係？
• RQ4 在多大程度上，堆上的基本形式與代表性李群叢軌道空間上的微分形式一致？
• RQ5 在可微範疇中，堆的粗模空間構造背後的幾何結構為何？

主要发现

• 從具體層（即微分空間）到堆的Grothendieck構造具有左伴隨函子，該函子將每個堆映射到其微分空間粗模空間。
• 微分空間粗模空間構造為任何堆提供了以光滑流形到其的映射為基礎的具體幾何實現。
• 可微堆上的基本微分形式與代表性李群叢軌道空間上微分形式的拉回完全等價。
• 在適當條件下，李群叢作用下的基本微分形式空間與堆的軌道空間上微分形式空間完全一致。
• 該構造在堆的微分幾何與其粗模空間的微分空間結構之間建立了自然對應關係。