[论文解读] The Meaning of \'Etale Stacks

David Carchedi|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 1

一句话总结

本文从范畴论角度将étale堆栈刻画为空间与局部同胚的范畴上的延拓，证明了étale微分流形堆栈与局部微分同胚的双范畴等价于光滑流形上局部微分同胚的层的2-拓扑斯。进一步表明，有效étale堆栈恰好是层的延拓，且将此结果应用于通过Haefliger群丛分类黎曼与辛结构的分类堆栈。

ABSTRACT

In this article, we derive many properties of etale stacks in various contexts, and prove that etale stacks may be characterized categorically as those stacks that arise as prolongations of stacks on a site of spaces and local homeomorphisms. Moreover, we show that the bicategory of etale differentiable stacks and local diffeomorphisms is equivalent to the 2-topos of stacks on the site of smooth manifolds and local diffeomorphisms. An analogous statement holds for other flavors of manifolds (topological, $C^k,$ complex, super...), and topological spaces locally homeomorphic to a given space $X.$ A slight modification of this result also holds in an even more general context, including all etale topological stacks, and Zariski etale stacks, and we also sketch a proof of an analogous characterization of Deligne-Mumford algebraic stacks. We go on to characterize effective etale stacks as precisely those stacks arising as the prolongations of sheaves. It follows that etale stacks (and in particular orbifolds) induce a small gerbe over their effective part, and all gerbes over effective etale stacks arise in this way. As an application, we show that well known Lie groupoids arising in foliation theory give presentations for certain moduli stacks. For example, there exists a classifying stack for Riemannian metrics, presented by Haefliger's groupoid $R\Gamma$ and submersions into this stack classify Riemannian foliations, and similarly for symplectic structures, with the role of $R\Gamma$ replaced with $\Gamma^{Sp}.$ We also prove some unexpected results, for example: the category of smooth $n$-manifolds and local diffeomorphisms has binary products.

研究动机与目标

• 在微分流形、拓扑流形和复流形等各种几何背景下，提供étale堆栈的范畴论刻画。
• 建立étale微分流形堆栈与局部微分同胚的双范畴与光滑流形上局部微分同胚的层的2-拓扑斯之间的等价关系。
• 证明有效étale堆栈恰好是层的延拓所生成的堆栈，从而将其与丛和模问题联系起来。
• 将该理论应用于叶状结构理论，通过Haefliger群丛展示Riemannian与辛结构的分类堆栈。
• 将该框架推广至更一般的设定，包括Zariski étale堆栈与Deligne-Mumford代数堆栈，并证明如光滑n-流形与局部微分同胚范畴中二元积的存在性等结构性结果。

提出的方法

• 使用范畴延拓，将étale堆栈刻画为来自空间与局部同胚的范畴上的堆栈。
• 应用2-拓扑斯理论，证明étale微分流形堆栈的双范畴等价于光滑流形上局部微分同胚的层的2-拓扑斯。
• 建立有效étale堆栈恰好是层的延拓所生成的堆栈，利用此类堆栈上丛的结构。
• 将该理论应用于叶状结构理论中的李群丛，证明Haefliger的群丛RΓ表示Riemannian度量的分类堆栈。
• 使用相同框架证明，映射到该分类堆栈的子mersions分类Riemannian叶状结构，对辛结构类似地使用Γ^Sp得到相同结果。
• 证明如光滑n-流形与局部微分同胚范畴中二元积的存在性等结构性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过空间与局部同胚的范畴上堆栈的延拓，从范畴论角度刻画étale堆栈？
• RQ2 étale微分流形堆栈与局部微分同胚的双范畴与光滑流形上局部微分同胚的层的2-拓扑斯之间的确切关系是什么？
• RQ3 哪些étale堆栈作为层的延拓而出现？这与丛理论有何关联？
• RQ4 叶状结构理论中著名的李群丛（如Haefliger的群丛RΓ）是否可被解释为Riemannian度量等几何结构的分类堆栈？
• RQ5 在光滑流形与局部微分同胚的范畴中，哪些结构性性质成立，例如二元积的存在性？

主要发现

• étale微分流形堆栈与局部微分同胚的双范畴等价于光滑流形上局部微分同胚的层的2-拓扑斯。
• 有效étale堆栈恰好是层的延拓所生成的堆栈，且此类堆栈在其有效部分上诱导出小丛。
• 所有有效étale堆栈上的丛均可表示为层的延拓，从而实现完全分类。
• Haefliger的群丛RΓ表示Riemannian度量的分类堆栈，且映射到该堆栈的子mersions分类Riemannian叶状结构。
• 对辛结构有类似结果，其分类堆栈由Γ^Sp表示。
• 光滑n-流形与局部微分同胚的范畴具有二元积，这是一个非平凡的结构性结果。