[论文解读] Different representations of Euclidean geometry and their application to the space-time geometry

Yuri A. Rylov|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2007

Relativity and Gravitational Theory参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于点和世界函数 σ = ρ²/2 的欧氏几何的新 σ-表示法，作为基本结构，取代了传统概念如向量和角度。通过将世界函数视为受约束的几何结构，该方法能够系统地将欧氏几何变形为多值几何，其中相等的向量可能不等价，从而为时空几何中的量子效应建模提供了基础。

ABSTRACT

Three different representation of the proper Euclidean geometry are considered. They differ in the number of basic elements, from which the geometrical objects are constructed. In E-representation there are three basic elements (point, segment, angle) and no additional structures. V-representation contains two basic elements (point, vector) and additional structure: linear vector space. In sigma-representation there is only one basic element and additional structure: world function σ=ρ^{2}/2, where ρis the distance. The concept of distance appears in all representations. However, as a structure, determining the geometry, the distance appears only in the sigma-representation. The sigma-representation is most appropriate for modification of the proper Euclidean geometry. Practically any modification of the proper Euclidean geometry turns it into multivariant geometry, where there are many vectors Q_0Q_1, Q_0Q_1^{\prime},..., which are equal to the vector P_0P_1, but they are not equal between themselves, in general. Concept of multivariance is very important in application to the space-time geometry. The real space-time geometry is multivariant. Multivariance of the space-time geometry is responsible for quantum effects.

研究动机与目标

• 通过仅使用点和世界函数 σ=ρ²/2 作为基本结构，重新表述欧氏几何时，最小化基本元素。
• 证明当世界函数 σ 受公理 I–IV 约束时，其成为定义几何的结构性元素，而不同于传统表示法中的情况。
• 表明用新的世界函数 σ 替代欧氏世界函数 σ_E，可生成新的物理几何，包括不可公理化的多值几何。
• 主张时空几何中的多值性，源于此类变形，是量子现象的基础。
• 通过重新定义向量空间和数量积的作用，解决传统公理化与物理几何之间的概念冲突。

提出的方法

• 定义仅以点为基本元素、世界函数 σ=ρ²/2 为唯一几何结构的 σ-表示法。
• 对 σ 施加四个约束（I–IV），以确保其对应于正确的欧氏几何，将 σ 视为结构性不变量。
• 将所有几何概念——向量、角度、距离——完全用 σ 表示，使用恒等式 |P₀P₁|² = 2σ(P₀,P₁)。
• 在所有几何定义中，用新世界函数 σ 替代 σ_E，以生成新的物理几何。
• 使用通过 σ 表达的数量积：(A·B) = σ(A,B) + σ(A,C) − σ(B,C)（对三个点），以恢复角度和方向关系。
• 证明在所得几何中，与某一给定向量相等的多个向量彼此之间可能不相等（多值性），从而破坏等价关系的传递性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅使用点和世界函数 σ=ρ²/2 作为基本结构，完全重构欧氏几何？
• RQ2 世界函数 σ 必须满足哪些约束，才能重现正确的欧氏几何？
• RQ3 如何通过将 σ_E 替换为另一个 σ 来生成新的物理几何，其性质是什么？
• RQ4 为何在这些变形几何中会出现多值性，它与量子行为有何关联？
• RQ5 为何此类几何中的等价关系不具备传递性，这如何挑战传统公理化？

主要发现

• σ-表示法将欧氏几何简化为单一基本元素（点）和一个结构（世界函数 σ），其余所有概念均由其导出。
• 世界函数 σ 仅在 σ-表示法中成为结构性元素，因其受公理 I–IV 约束；而在 E- 或 V- 表示法中并非如此。
• 将 σ 从 σ_E 变形为另一函数 σ，可生成新的物理几何，其一般不可公理化，原因在于等价关系的非传递性。
• 多值性自然出现在此类变形几何中：多个向量可与某一给定向量相等，但彼此之间不相等。
• 如 σ-变形几何所建模的时空几何中的多值性，为量子效应提供了几何解释。
• 线性向量空间结构并非基本结构，而仅在 V-表示法中出现；在物理几何中，其为衍生结构，且并非总是可定义。