[论文解读] Differentiable mappings between spaces of sections

Helge Glöckner|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文建立了在 $\sigma$-紧致、有限维流形上的 $C^r$-向量丛的截面空间之间推送映射的可微性，表明在自然条件下，$C^r$-截面（无论是否紧支集）的推送是 $C^k$ 类的。关键贡献在于证明当 $f$ 是纤维保持且光滑时，$C^r(X,f)$ 和 $\mathcal{D}^r(X,f)$ 是光滑的（或 $\mathbb{K}$-解析的），从而使得 $C^r(X,G)$ 对任意光滑或 $\mathbb{K}$-解析李群 $G$ 赋予一个以 $\mathcal{D}^r(X,\mathfrak{g})$ 为模型的李群结构。结果将便利微积分和凯勒的 $C^r_c$-理论推广至无限维纤维和非紧基空间。

ABSTRACT

In this work, various versions of the so-called Omega-Lemma are provided, which ensure differentiability properties of pushforwrds between spaces of C^r-sections (or compactly supported C^r-sections) in vector bundles over finite-dimensional base manifolds whose fibres are (possibly infinite-dimensional) locally convex spaces. Applications are given, including the proof of continuity for some natural module multiplications on spaces of sections and the construction of certain infinite-dimensional Lie groups of Lie group-valued maps.

研究动机与目标

• 建立在 $\sigma$-紧致、有限维流形上的 $C^r$-向量丛的截面空间之间映射的可微性性质。
• 证明对任意 $C^r$-向量丛 $E\to X$，有 $C^r(X,E)$ 和 $\mathcal{D}^r(X,E)$ 分别是 $C^r(X)$ 和 $\mathcal{D}^r(X)$ 上的拓扑模。
• 对任意光滑或 $\mathbb{K}$-解析李群 $G$，在 $\mathcal{D}^r(X,\mathfrak{g})$ 上构造 $C^r(X,G)$ 的光滑（或 $\mathbb{K}$-解析）李群结构。
• 通过凯勒的 $C^r_c$-微积分，将紧支集截面推送结果推广至非紧基空间和无限维纤维。

提出的方法

• 使用米查尔-巴蒂安微积分（凯勒的 $C^r_c$-理论）来定义截面函数空间之间映射的可微性。
• 应用局部平凡化和单位分解来定义截面空间的拓扑，并将整体问题约化为局部问题。
• 通过局部坐标和半范数分析 $f\circ\sigma$ 对 $\sigma$ 的依赖关系，证明推送映射 $C^r(X,f)$ 是 $C^k$-可微的。
• 通过证明相关映射 $h_*$ 在测试函数上的可微性，利用局部坐标和邻域证明 $\mathcal{D}^r(X,f)$ 是光滑的（或 $\mathbb{K}$-解析的）。
• 通过左平移和共轭作用，将 $C^r(X,f)$ 在给定截面 $\gamma$ 附近的可微性约化为相关映射 $h_*$ 在零邻域的可微性。
• 将证明方法适应于 $\sigma$-紧致、局部紧空间上的 $C^0$-向量丛情形，以紧致子集上的直接上确界替代局部坐标。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$C^r$-截面空间之间的推送映射 $C^r(X,f)$ 在米查尔-巴蒂安意义下是可微的？
• RQ2 能否在 $\mathcal{D}^r(X,\mathfrak{g})$ 上赋予 $C^r(X,G)$ 一个光滑或 $\mathbb{K}$-解析的李群结构，其中 $G$ 是一个光滑或 $\mathbb{K}$-解析李群？
• RQ3 当 $f$ 仅在零截面邻域有定义时，$\mathcal{D}^r(X,f)$ 的可微性如何依赖于 $f$ 的定义域？
• RQ4 在无穷维李群理论背景下，$C^r(X,E)$ 关于 $C^r(X)$ 的模结构起什么作用？
• RQ5 结果能否超越流形，推广至 $\sigma$-紧致、局部紧空间，以直接拓扑估计替代局部坐标？

主要发现

• 对于任意纤维保持的 $C^r$-映射 $f$，在 $C^r$-向量丛之间，若 $X$ 是 $\sigma$-紧致且有限维的，则推送映射 $C^r(X,f)$ 是 $C^k$ 类的。
• 紧支集 $C^r$-截面空间 $\mathcal{D}^r(X,E)$ 是拓扑代数 $\mathcal{D}^r(X)$ 上的拓扑模。
• 对任意 $C^r$-向量丛 $E\to X$，空间 $C^r(X,E)$ 是 $C^r(X)$-上的拓扑模。
• 对任意光滑或 $\mathbb{K}$-解析李群 $G$，群 $C^r(X,G)$ 在 $\mathcal{D}^r(X,\mathfrak{g})$ 上赋予光滑（或 $\mathbb{K}$-解析）李群结构。
• 当 $f$ 定义在零截面邻域且为光滑（或 $\mathbb{K}$-解析）时，映射 $\mathcal{D}^r(X,f)$ 是光滑的（或 $\mathbb{K}$-解析的）。
• 通过以紧致子集上的直接上确界替代局部坐标，结果可推广至 $\sigma$-紧致、局部紧空间上的 $C^0$-向量丛，且保持可微性。