[论文解读] Differential cohomology in a cohesive infinity-topos

Urs Schreiber|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 136被引用 87

一句话总结

本文在凝聚 ∞-拓扑斯中为微分上同调与陈-外尔理论建立了统一框架，提供了高阶规范场及其几何量子化的综合公理化体系。它将经典陈-西蒙斯与威萨-祖米诺-威滕理论推广至更高余维数，将高阶陈-外尔同态识别为模 ∞-堆上的态射，并表明通过扭曲上同调进行的量子化可产生如威滕示性类般的划分函数，揭示了与异常抵消及扩展前量子场论的深层联系。

ABSTRACT

We formulate differential cohomology and Chern-Weil theory -- the theory of connections on fiber bundles and of gauge fields -- abstractly in the context of a certain class of higher toposes that we call "cohesive". Cocycles in this differential cohomology classify higher principal bundles equipped with cohesive structure (topological, smooth, synthetic differential, supergeometric, etc.) and equipped with connections, hence higher gauge fields. We discuss various models of the axioms and applications to fundamental notions and constructions in quantum field theory and string theory. In particular we show that the cohesive and differential refinement of universal characteristic cocycles constitutes a higher Chern-Weil homomorphism refined from secondary caracteristic classes to morphisms of higher moduli stacks of higher gauge fields, and at the same time constitutes extended geometric prequantization -- in the sense of extended/multi-tiered quantum field theory -- of hierarchies of higher dimensional Chern-Simons-type field theories, their higher Wess-Zumino-Witten-type boundary field theories and all further higher codimension defect field theories. We close with an outlook on the cohomological quantization of such higher boundary prequantum field theories by a kind of cohesive motives.

研究动机与目标

• 在高阶拓扑斯理论中为微分上同调与规范场论提供一种综合的、公理化的基础。
• 将经典的陈-外尔同态推广至更高 ∞-联络与更高特征类。
• 在扩展前量子场论的统一框架下，统一高阶陈-西蒙斯与威萨-祖米诺-威滕理论。
• 表明联络的模 ∞-堆自然编码了异常抵消条件，如扭曲 K-定向性与弦结构。
• 通过扭曲广义上同调提出高阶边界与缺陷理论的上同调量子化，导出如威滕示性类等量子不变量。

提出的方法

• 在凝聚 ∞-拓扑斯中形式化微分上同调，其中凝聚结构（光滑、超、解析）被内置于拓扑斯公理之中。
• 构建光滑 ∞-群胚与 ∞-李代数丛的凝聚 ∞-拓扑斯，作为抽象框架的具体模型。
• 将 ∞-陈-外尔同态定义为从主 ∞-联络到带连接的 (n+1)-丛的映射，其全息性给出高阶陈-西蒙斯作用泛函。
• 将这些丛的高阶全息性识别为全配置 ∞-群胚上的 ∞-陈-西蒙斯理论的作用泛函。
• 通过微分扭曲与循环构造，从陈-西蒙斯拉格朗日量推导出高阶威萨-祖米诺-威滕泛函。
• 通过扭曲广义上同调（如 tmf）中的上推操作应用上同调量子化，获得如威滕示性类等量子不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以一种统一方式公理化微分上同调与陈-外尔理论，使其涵盖不同几何结构下的高阶规范场？
• RQ2 凝聚 ∞-拓扑斯在捕捉高阶规范场论及其异常的几何与拓扑数据方面，其精确作用是什么？
• RQ3 ∞-陈-外尔同态如何将经典陈-西蒙斯与威萨-祖米诺-威滕理论推广至更高余维数与扩展场论？
• RQ4 联络的模 ∞-堆在何种意义上编码了费米子异常抵消条件，如扭曲 K-定向性或弦结构？
• RQ5 能否通过扭曲上同调的高阶前量子几何构造，从量子场论（如杂色弦）的划分函数中导出其结果？

主要发现

• ∞-陈-外尔同态被实现为从 ∞-联络的模 ∞-堆到带连接的 (n+1)-丛的模 ∞-堆的态射，推广了经典陈-西蒙斯泛函。
• 由此产生的陈-西蒙斯 (n+1)-丛的高阶全息性作为全配置 ∞-群胚上的态射，计算了 ∞-陈-西蒙斯理论的作用泛函。
• 微分循环构造产生高阶威萨-祖米诺-威滕泛函，作为陈-西蒙斯理论的扭曲循环空间，为边界与缺陷理论提供了几何前量子化。
• 该框架自然编码了异常抵消：例如，D-膜电荷的弗雷德-惠特尼条件等价于膜子流形的 χ-扭曲 K-定向性。
• 通过扭曲 tmf 中的上推操作进行上同调量子化，可得到威滕示性类作为杂色弦的划分函数，实现了轨道方法的高维类比。
• M2-膜终止于 O9-平面的构造通过相同机制产生杂色弦，其对应的划分函数由威滕示性类给出，证实了 [Sa10a] 中的猜想。