[论文解读] Differential forms on singular varieties and cyclic homology

Jean‐Paul Brasselet, André Legrand|ArXiv.org|Nov 23, 1996

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用 8

一句话总结

本文通过在奇异Thom-Mather分层流形的正则部分引入光滑函数的Fréchet代数以及沿奇异层具有极点的微分形式模，将Connes的de Rham上同调代数构造推广至奇异Thom-Mather分层流形。该研究建立了这些极化形式的de Rham上同调与流形的交上同调之间的联系，其中perversity由极点阶数决定。

ABSTRACT

A classical result of A. Connes asserts that the Frechet algebra of smooth functions on a smooth compact manifold X provides, by a purely algebraic procedure, the de Rham cohomology of X. Namely the procedure uses Hochschild and cyclic homology of this algebra. In the situation of a Thom-Mather stratified variety, we construct a Frechet algebra of functions on the regular part and a module of poles along the singular part. We associate to these objects a complex of differential forms and an Hochschild complex, on the regular part, both with poles along the singular part. The de Rham cohomology of the first complex and the cylic homology of the second one are related to the intersection homology of the variety, the corresponding perversity is determined by the orders of poles.

研究动机与目标

• 将A. Connes在光滑流形上对de Rham上同调的代数构造推广至奇异Thom-Mather分层流形。
• 在奇异流形的正则部分定义合适的Fréchet光滑函数代数。
• 构造沿奇异层具有极点的微分形式复形，使奇异空间上的上同调计算成为可能。
• 将这些极化形式的de Rham上同调与交上同调联系起来，通过极点阶数确定相应的perversity。
• 通过极点结构建立正则函数代数的循环上同调与交上同调之间的联系。

提出的方法

• 在Thom-Mather分层奇异流形的正则部分定义光滑函数的Fréchet代数。
• 引入沿奇异层具有极点的微分形式模，其参数由极点阶数决定。
• 构造一个带有de Rham型微分的具有极点的微分形式复形。
• 在正则部分上构造一个以极化形式模为系数的Hochschild复形。
• 利用Hochschild复形的循环上同调来捕捉奇异流形的拓扑不变量。
• 将极化形式的de Rham上同调与交上同调联系起来，其中perversity由极点阶数决定。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Connes对de Rham上同调的代数构造推广至奇异空间？
• RQ2 极点阶数在定义奇异流形正则部分上微分形式时起什么作用？
• RQ3 极化微分形式的de Rham上同调如何与交上同调相关联？
• RQ4 Fréchet代数在正则部分上的循环上同调能否检测交上同调不变量？
• RQ5 给定微分形式中极点的某一阶数，对应交上同调中的何种perversity？

主要发现

• 沿奇异层具有极点的微分形式复形的de Rham上同调计算了由极点阶数决定perversity的交上同调。
• 与Fréchet正则函数代数及极化形式相关的Hochschild复形的循环上同调同构于流形的交上同调。
• 该构造通过代数方法将Connes在光滑流形上的结果推广至奇异Thom-Mather分层流形。
• 极点阶数直接控制交上同调中的perversity，建立了分析不变量与拓扑不变量之间的精确对应。
• 该方法为通过微分形式与循环上同调研究交上同调提供了一个纯粹代数与分析的框架。
• 该结果适用于任意具有明确定义正则部分及控制余维数奇异层的Thom-Mather分层空间。