[论文解读] Structured singular manifolds and factorization homology

David Ayala, John Francis+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 10

一句话总结

本文提出了一套用于结构化奇点流形（即具有预定奇点的流形）的分解同调框架，将经典分解同调推广至非光滑、奇异空间。它建立了埃伦伯格-斯廷罗德公理的张量化推广，证明了奇异流形上的非交换庞加莱对偶性，并构建了类似于柯ван诺夫同调的三维流形中的纽结与链环同调理论。

ABSTRACT

We provide a framework for the study of structured manifolds with singularities and their locally determined invariants. This generalizes factorization homology, or topological chiral homology, to the setting of singular manifolds equipped with various tangential structures. Examples of such factorization homology theories include intersection homology, compactly supported stratified mapping spaces, and Hochschild homology with coefficients. Factorization homology theories for singular manifolds are characterized by a generalization of the Eilenberg-Steenrod axioms. Using these axioms, we extend the nonabelian Poincaré duality of Salvatore and Lurie to the setting of singular manifolds -- this is a nonabelian version of the Poincaré duality given by intersection homology. We pay special attention to the simple case of singular manifolds whose singularity datum is a properly embedded submanifold and give a further simplified algebraic characterization of these homology theories. In the case of 3-manifolds with 1-dimensional submanifolds, this structure gives rise to knot and link homology theories akin to Khovanov homology.

研究动机与目标

• 开发一个系统性框架，用于研究具有奇点的流形及其局部确定的不变量。
• 将此前仅定义于光滑流形的分解同调推广至具有切结构的结构化奇异流形。
• 通过埃伦伯格-斯廷罗德公理的张量化推广，将萨尔瓦多与鲁里埃的非交换庞加莱对偶性推广至奇异流形。
• 为奇异流形上因子分解同调理论提供代数表征，其中奇点为恰当嵌入的子流形。
• 利用该框架构建三维流形中纽结与链环的同调理论，其形式类比于柯万诺夫同调。

提出的方法

• 引入结构化奇异流形的范畴，记为 $\mathsf{Snglr}_{n,k}$，其中 $k$ 表示奇点的深度。
• 定义奇异流形的嵌入及光滑嵌入族的概念，推广经典微分拓扑。
• 将分解同调构造为从奇异流形到链复形的协变赋值，满足局部性与切除性条件。
• 通过埃伦伯格-斯廷罗德公理的张量化推广表征分解同调，包括广义切除性质。
• 将该框架应用于奇点为恰当嵌入子流形的情形，获得简化的代数描述。
• 利用该理论定义三维流形中纽结与链环的同调，其构造类比于柯万诺夫同调，基于 $\mathbb{R}^3$ 中一维子流形的分解同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将分解同调扩展至具有预定切结构的奇异流形？
• RQ2 何种公理化框架可推广埃伦伯格-斯廷罗德公理，以捕捉奇异空间上分解同调的局部性与切除性？
• RQ3 能否在奇异流形上建立非交换庞加莱对偶性，从而推广光滑情形？
• RQ4 当奇点为恰当嵌入子流形时，何种代数结构可表征分解同调？
• RQ5 这些构造如何导出三维流形中的纽结与链环同调理论，且与柯万诺夫同调有何关联？

主要发现

• 本文构建了满足埃伦伯格-斯廷罗德公理张量化推广的结构化奇异流形分解同调理论。
• 它在奇异流形上建立了非交换庞加莱对偶性，推广了萨尔瓦多与鲁里埃的光滑情形结果。
• 对于奇点为恰当嵌入子流形的奇异流形，其分解同调理论具有简化的代数表征。
• 在三维流形中，当奇点为一维子流形时，该理论导出类比于柯万诺夫同调的纽结与链环同调理论。
• 该框架允许通过局部确定的不变量将拓扑量子场理论推广至非紧致与奇异流形。
• 该理论为微扰量子场论在奇异空间上的可观测量提供了自然设定，推广了科斯托-格里厄姆形式化。