[论文解读] Differential Operator Algebras on compact Riemann Surfaces

Martin Schlichenmaier|Open Repository and Bibliography (University of Luxembourg)|Nov 5, 1993

Advanced Topics in Algebra参考文献 12被引用 18

一句话总结

该论文通过构造在有限个点外亚纯且全纯的亚纯微分算子代数，将维拉索罗代数和克里奇列夫-诺维科夫代数推广至任意亏格的紧黎曼曲面。通过引入入/出点划分的分级，建立了近似-graded李代数结构，并研究了中心扩张与半无限楔形表示，得到了具有显式余胞和韦尔马模实现的共形场论代数的高亏格类比。

ABSTRACT

Invited talk at the International Symposium on Generalized Symmetries in Physics at the Arnold-Sommerfeld-Institute, Clausthal, Germany, July 26 -- July 29, 1993. This talk reviews results on the structure of algebras consisting of meromorphic differential operators which are holomorphic outside a finite set of points on compact Riemann surfaces. For each partition into two disjoint subsets of the set of points where poles are allowed, a grading of the algebra and of the modules of lambda - forms is introduced. With respect to this grading the Lie structure of the algebra and of the modules are almost graded ones. Central extensions and semi-infinite wedge representations are studied. If one considers only differential operators of degree 1 then these algebras are generalizations of the Virasoro algebra in genus zero, resp. of Krichever Novikov algebras in higher genus.

研究动机与目标

• 将亏格零的维拉索罗代数推广至任意亏格的紧黎曼曲面。
• 构造在有限个点（入点与出点）外全纯的亚纯微分算子代数。
• 通过将极点集划分为入点与出点，引入代数与λ-形式模上的分级。
• 研究这些代数的中心扩张与半无限楔形表示。
• 建立未扭的仿射卡克-莫迪代数的高亏格类比及其表示。

提出的方法

• 在紧黎曼曲面X上定义微分算子代数Dλ(A)，其极点仅位于有限集A = I ∪ O的入点与出点处。
• 利用划分(I,O)对Dλ(A)及其λ-形式模引入分级，从而导出近似-graded李代数结构。
• 通过具有指定留数和纯虚周期的亚纯微分ρ的留数构造局部余胞，实现代数的中心扩张。
• 将代数嵌入到无穷矩阵代数gl(∞)中，以正则化其在半无限楔形空间Hλ(A)上的作用。
• 利用gl(∞)上标准余胞的拉回，定义Hλ(A)上正则化且中心扩张的作用，确保与克莱夫福德代数结构相容。
• 使用公式(9)中λ-形式上的配对，定义权重为λ与1−λ的左、右半无限形式之间的配对。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将维拉索罗代数推广至具有多个穿孔的高亏格（g ≥ 1）紧黎曼曲面，以应用于共形场论？
• RQ2 当极点集被划分为入点与出点时，会涌现出何种分级结构？其对李代数结构有何影响？
• RQ3 高亏格黎曼曲面上微分算子代数的中心扩张形式为何？
• RQ4 如何构造这些代数的半无限楔形表示？近似-graded结构在此过程中起何作用？
• RQ5 未扭仿射卡克-莫迪代数的高亏格类比是什么？它们如何作用于半无限形式上？

主要发现

• 在极点位于有限集A = I ∪ O的紧黎曼曲面上，微分算子代数Dλ(A)关于划分(I,O)是近似-graded的，推广了亏格零时的维拉索罗代数。
• 通过局部余胞构造了Dλ(A)的中心扩张，其中中心元在韦尔马模上作用为(−2)(6λ² − 6λ + 1)倍的恒等算子。
• 通过将中心扩张代数嵌入gl(∞)正则化其作用，构造了半无限楔形表示Hλ(A)，其余胞由gl(∞)上的标准余胞拉回得到。
• 中心扩张代数D¹(A)在Hλ(A)上的作用与通过b-c系统楔乘与收缩诱导的克莱夫福德代数结构相容。
• 对于环面（g=1），对2-、3-和4-点情形进行了显式计算，并利用代数几何技术研究了黎曼曲面的退化情形。
• 该构造为高亏格黎曼曲面上中心扩张微分算子代数的最高权表示提供了一致框架，将共形场论推广至高亏格。