[论文解读] Sugawara Construction and Casimir Operators for Krichever-Novikov Algebras

Martin Schlichenmaier, О. К. Шейнман|ArXiv.org|Dec 18, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文将Sugawara构造推广至高亏格的Krichever-Novikov代数，从最高权模导出中心扩张的Krichever-Novikov向量场代数的表示，建立表示之间的权关系，并构造Casimir算子，将经典Virasoro代数结果推广至高亏格情形，包含多点结构的附录。

ABSTRACT

We show how to obtain from highest weight representations of Krichever-Novikov algebras of affine type (also called higher genus affine Kac-Moody algebras) representations of centrally extended Krichever-Novikov vector field algebras via the Sugawara construction. This generalizes classical results where one obtains representations of the Virasoro algebra. Relations between the weights of the corresponding representations are given and Casimir operators are constructed. In an appendix the Sugawara construction for the multi-point situation is done.

研究动机与目标

• 将Sugawara构造从经典仿射Kac-Moody代数推广至高亏格的Krichever-Novikov代数。
• 从仿射型的最高权模导出中心扩张的Krichever-Novikov向量场代数的表示。
• 明确建立原始仿射代数表示的权与所得向量场代数表示的权之间的关系。
• 为中心扩张的Krichever-Novikov向量场代数构造Casimir算子。
• 将构造推广至多点情形，附录中包含多点Sugawara构造的详细内容。

提出的方法

• 以高亏格仿射型Krichever-Novikov代数的最高权表示作为出发点。
• 应用Sugawara构造，生成中心扩张的Krichever-Novikov向量场代数的新表示。
• 通过Sugawara构造推导原始仿射代数表示与所得向量场代数表示之间的权关系。
• 利用Sugawara公式与表示论技巧，为中心扩张的Krichever-Novikov向量场代数构造Casimir算子。
• 通过将Sugawara公式适配至具有多个标记点的黎曼曲面，将构造推广至多点情形。
• 运用代数几何与表示论工具，尤其在高亏格黎曼曲面的背景下。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Sugawara构造从Virasoro代数推广至高亏格的Krichever-Novikov代数？
• RQ2 仿射Krichever-Novikov代数的最高权表示的权与所得向量场代数表示的权之间存在何种精确关系？
• RQ3 能否使用Sugawara方法为中心扩张的Krichever-Novikov向量场代数构造Casimir算子？
• RQ4 Sugawara构造在高亏格黎曼曲面上的多点设定下行为如何？
• RQ5 将Sugawara构造推广至Krichever-Novikov代数所带来的结构与表示论意义为何？

主要发现

• Sugawara构造成功地从仿射Krichever-Novikov代数的最高权模导出中心扩张的Krichever-Novikov向量场代数的表示。
• 推导出原始仿射代数表示与所得向量场代数表示之间权关系的显式表达式。
• 为中心扩张的Krichever-Novikov向量场代数构造了Casimir算子，推广了经典情形。
• 构造被推广至多点情形，附录中提供了详细处理。
• 该方法在从仿射代数到向量场代数的过渡中，保持了代数结构与表示论性质，适用于高亏格情形。