[论文解读] Differential Topology of Gaussian Random Fields: applications to Random Algebraic Geometry

Antonio Lerario, Michele Stecconi|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用 1

一句话总结

本文运用微分拓扑工具研究随机 Kostlan 多项式映射，分析实代数几何中随机奇点的局部结构。研究建立了广义的“平方根定律”，表明此类奇点的期望贝蒂数或点数随次数增加而以确定性上界（通常源自复代数几何）的平方根增长。

ABSTRACT

Using the tools that we have developed in arXiv:1902.03805, we study properties of random Kostlan polynomial maps (viewed as random variables in the space of $C^{\infty}$-maps). We apply these tools to the study of problems in random real algebraic geometry, with particular emphasis on the local structure of `random singularities' (i.e. the set of points where a map has some high-order jet of a prescribed type). This study leads to a generalized `square-root law' for the topology (Betti numbers or number of points) of a random singularity: as the degree goes to infinity, the expected value of this number grows like the square root of the corresponding deterministic upper bound (most of the times coming from complex algebraic geometry). Finally, we establish two technical results of independent interest (used for the deterministic estimate of the topology of jet-type singularities and for the lower bound on its expectation): first we obtain Morse inequalities for stratified spaces that are `almost' semialgebraic, second we prove a semicontinuity result for the topology of the zero set of a nondegenerate equation under a small $C^0$ perturbation of this equation.

研究动机与目标

• 通过随机 Kostlan 多项式映射分析实代数几何时随机奇点的局部结构。
• 理解随机奇点的拓扑（以贝蒂数或点数衡量）随次数增加的缩放规律。
• 为这类奇点的期望拓扑建立广义的“平方根定律”，并与复几何导出的确定性上界进行对比。
• 开发用于估计喷层型奇点拓扑及通过扰动稳定性控制期望值的技术工具。

提出的方法

• 利用 arXiv:1902.03805 中的工具，将随机 Kostlan 映射视为 $C^{\ackslash infty}$-映射空间中的随机变量。
• 将莫尔斯型不等式应用于“几乎”半代数的分层空间，将经典结果推广至非半代数设定。
• 证明了非退化方程的小 $C^0$ 扰动下，零点集拓扑的下半连续性结果。
• 运用喷层型奇点的确定性拓扑估计，以控制随机奇点的期望拓扑。
• 结合概率分析与微分拓扑，推导随机拓扑不变量的渐近缩放律。
• 利用随机多项式及其喷层的结构，刻画高次情形下奇点的典型行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机奇点的期望贝蒂数或点数如何随 Kostlan 多项式映射的次数变化？
• RQ2 随机实奇点的期望拓扑与复代数几何导出的确定性上界之间，是否存在精确的渐近关系？
• RQ3 随机方程零点集的拓扑性质在小 $C^0$ 扰动下在多大程度上保持稳定？
• RQ4 莫尔斯不等式能否推广至非完全半代数的分层空间？这一推广如何有助于估计奇点拓扑？
• RQ5 喷层型奇点在决定随机实代数集的全局拓扑复杂度中起什么作用？

主要发现

• 随机奇点的期望贝蒂数或点数，渐近地随复代数几何中相应确定性上界的平方根增长。
• 广义的“平方根定律”在 Kostlan 多项式映射次数增加时，对大多数类型的喷层型奇点均成立。
• 莫尔斯不等式被推广至“几乎”半代数的分层空间，使非半代数设定下的拓扑估计成为可能。
• 证明了非退化方程的小 $C^0$ 扰动下，零点集拓扑的下半连续性，确保了拓扑不变量的稳定性。
• 喷层型奇点的确定性拓扑上界被有效用于控制随机奇点拓扑的期望值。
• 分析结果表明，随机实代数集的拓扑复杂度显著低于其复对应物，其缩放关系为复上界的平方根。