[论文解读] Diffusion and Butterfly Velocity at Finite Density

Keun-Young Kim, Chao Niu|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文研究了有限密度下全息模型中的电荷与能量扩散，重点关注蝴蝶速度（$v_B$）作为特征速度标度的作用。研究发现，在非相干区域，能量扩散（$D_e$）普遍达到边界 $D_e \sim \frac{1}{2} \frac{\hbar v_B^2}{k_B T}$，而电荷扩散（$D_c$）则不普遍达到该边界，表明 $v_B$ 可能不主导电荷扩散，且 $C_+$ 依赖于模型参数。

ABSTRACT

We study diffusion and butterfly velocity ($v_B$) in two holographic models, linear axion and axion-dilaton model, with a momentum relaxation parameter ($β$) at finite density or chemical potential ($μ$). Axion-dilaton model is particularly interesting since it shows linear-$T$-resistivity, which may have something to do with the universal bound of diffusion. At finite density, there are two diffusion constants $D_\pm$ describing the coupled diffusion of charge and energy. By computing $D_\pm$ exactly, we find that in the incoherent regime ($β/T \gg 1,\ β/μ\gg 1$) $D_+$ is identified with the charge diffusion constant ($D_c$) and $D_-$ is identified with the energy diffusion constant ($D_e$). In the coherent regime, at very small density, $D_\pm$ are `maximally' mixed in the sense that $D_+(D_-)$ is identified with $D_e(D_c)$, which is opposite to the case in the incoherent regime. In the incoherent regime $D_e \sim C_- \hbar v_B^2 / k_B T$ where $C_- = 1/2$ or 1 so it is universal independently of $β$ and $μ$. However, $D_c \sim C_+ \hbar v_B^2 / k_B T$ where $C_+ = 1$ or $ β^2/16π^2 T^2$ so, in general, $C_+$ may not saturate to the lower bound in the incoherent regime, which suggests that the characteristic velocity for charge diffusion may not be the butterfly velocity. We find that the finite density does not affect the diffusion property at zero density in the incoherent regime.

研究动机与目标

• 研究有限化学势（密度）如何影响具有动量弛豫的全息模型中的扩散常数。
• 确定蝴蝶速度（$v_B$）是否在非相干区域普遍支配电荷与能量扩散。
• 在线性-$T$ 电阻率与霍姆斯定律的背景下，检验扩散边界 universality（普遍性）的成立条件。
• 阐明视界数据在计算扩散常数中的作用及其对普遍性的影响。
• 探讨 $v_B$ 是否是电荷扩散的正确特征速度，或是否存在其他标度主导其行为。

提出的方法

• 在两种全息模型（线性轴子与轴子-标量）中，通过解析计算扩散常数 $D_\pm$，其中包含动量弛豫参数 $\beta$ 和有限化学势 $\mu$。
• 使用全息方法在相干与非相干区域（$\beta/T \gg 1$，$\beta/\mu \gg 1$）精确计算 $D_\pm$。
• 通过爱因斯坦关系与电导率关系，识别非相干区域中 $D_+$ 与 $D_-$ 分别为电荷与能量扩散常数。
• 从视界数据提取蝴蝶速度 $v_B$，并用于检验扩散边界 $D \gtrsim v^2 \hbar / (k_B T)$。
• 比较 $D_\pm \approx C_\pm \frac{v_B^2}{2\pi T}$ 中的 $C_\pm$ 系数，以评估其普遍性。
• 分析视界数据在计算 $\kappa$、$c_\rho$ 与 $v_B$ 中的作用，而 $\chi$ 与 $\zeta$ 则需完整体相解。

实验结果

研究问题

• RQ1 蝴蝶速度 $v_B$ 是否在有限密度的全息模型中普遍支配能量扩散？
• RQ2 电荷扩散常数 $D_c$ 是否普遍受 $v_B^2 \hbar / (k_B T)$ 边界约束，还是其依赖于 $\beta$ 与 $T$ 等模型参数？
• RQ3 有限密度如何影响非相干区域中电荷与能量扩散的解耦？
• RQ4 尽管两者均受普朗克时间弛豫支配，为何能量扩散在非相干区域具有普遍性，而电荷扩散则没有？
• RQ5 是否存在超越 $v_B$ 的其他速度标度，可解释某些模型中电荷扩散的普遍性？

主要发现

• 在非相干区域（$\beta/T \gg 1$，$\beta/\mu \gg 1$），能量扩散 $D_e$ 满足：在轴子-标量模型中 $D_e \approx \frac{1}{2} \frac{\hbar v_B^2}{k_B T}$，在线性轴子模型中 $D_e \approx \frac{\hbar v_B^2}{k_B T}$，对应 $C_- = 1/2$ 与 $C_- = 1$，表明其具有普遍行为。
• 在轴子-标量模型中，$D_c \approx \frac{1}{2\pi T}$，即使 $C_+ = \beta^2 / (16\pi^2 T^2)$ 并非普遍，仍达到普遍下界 $D_c \gtrsim \frac{\hbar v_B^2}{k_B T}$。
• 在非相干区域，$D_+$ 与 $D_-$ 分别被识别为 $D_c$ 与 $D_e$；而在低密度的相干区域，二者完全混合，其中 $D_+$ 对应 $D_e$，$D_-$ 对应 $D_c$。
• 能量扩散常数 $D_e$ 在非相干区域具有普遍性，因其仅依赖于视界数据；而 $D_c$ 不具普遍性，因其依赖于需完整体相解的 $\chi$ 与 $\zeta$。
• 蝴蝶速度 $v_B$ 并非电荷扩散的普遍特征速度，因为在轴子-标量模型中 $C_+$ 依赖于 $\beta/T$，表明可能存在其他速度标度主导电荷输运。
• 有限密度在非相干区域的零密度极限下不影响扩散性质，因为 $D_\pm$ 在此极限下退化为零密度形式。