[论文解读] Dimensional Differences between Nonnegative Polynomials and Sums of Squares

Grigoriy Blekherman|ArXiv.org|Jul 8, 2009

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 12被引用 7

一句话总结

本文证明了非负齐次多项式锥与平方和多项式锥的面之间存在显著的维数差距——尤其在次数或变量数增加时——为分离非负多项式与平方和多项式提供了几何基础。其核心贡献是提出一种构造性方法，通过显式二次型与形式空间上的内积，推导出对所有平方和多项式成立但对某些非负多项式不成立的不等式。

ABSTRACT

We study dimensions of the faces of the cone of nonnegative polynomials and the cone of sums of squares; we show that there are dimensional differences between corresponding faces of these cones. These dimensional gaps occur in all cases where there exist nonnegative polynomials that are not sums of squares. As either the degree or the number of variables grows the gaps become very large, asymptotically the gaps approach the full dimension of the vector space of polynomials in $n$ variables of degree 2d. The gaps occur generically, they are not a product of selecting special faces of the cones. Using these dimensional differences we show how to derive inequalities that separate nonnegative polynomials from sums of squares; the inequalities will hold for all sums of squares, but will fail for some nonnegative polynomials.

研究动机与目标

• 研究非负多项式锥与平方和多项式锥中面的维数结构。
• 识别并量化当非负多项式非平方和时，两个锥中对应面之间的维数差距。
• 利用观察到的维数差异，构建显式不等式以区分平方和多项式与非负多项式。
• 为在高次或高变量情形下分离非负多项式与平方和多项式，提供几何与代数框架。

提出的方法

• 研究在 $ n $ 个变量中次数为偶数 $ 2d $ 的齐次多项式（形式），分析在有限点集 $ S $ 上消失的面。
• 比较面 $ Pos_{n,2d}(S) $ 与 $ Sq_{n,2d}(S) $ 的维数，其中 $ Pos_{n,2d}(S) $ 表示在 $ S $ 上消失的非负形式，$ Sq_{n,2d}(S) $ 表示为平方和且在 $ S $ 上消失的形式。
• 方法利用 $ P_{n,2d} $ 的向量空间分解，特别是通过正交基与在指定点消失的形式子空间上的投影。
• 在 $ P_{4,2} $ 上使用积分内积，定义再生核 $ P_v $，使得 $ \langle f, P_v \rangle = f(v) $，从而实现二次型的显式计算。
• 核心技术涉及构造显式泛函：$ M_S(f) = \sum f^2(s_{ij}) $，$ T(f) = \int_{S^3} f^2 d\sigma $，以及 $ R_S(f) = (f^2(a) - f^2(b))^2 $，以推导分离不等式。
• 本文证明了对所有 $ f \in P_{4,2} $，有 $ 15M_S(f)T(f) - R_S(f) \geq 0 $，且 15 是满足此不等式的最小常数，利用二次型的特征值分解完成证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于相同的消失点集 $ S $，非负多项式锥与平方和多项式锥的面之间存在怎样的维数差异？
• RQ2 当变量数 $ n $ 或次数 $ 2d $ 增加时，这些维数差距如何增长？
• RQ3 是否可以利用锥之间的维数差异来构造显式不等式，以分离非负多项式与平方和多项式？
• RQ4 使得对所有 $ f \in P_{4,2} $ 满足 $ \alpha M_S(f)T(f) - R_S(f) \geq 0 $ 的最小常数 $ \alpha $ 是多少？

主要发现

• 在 $ Pos_{n,2d}(S) $ 与 $ Sq_{n,2d}(S) $ 的面之间，维数差距在一般情况下存在，并且当 $ n $ 或 $ d $ 增加时，其渐近增长趋近于 $ P_{n,2d} $ 的总维数。
• 使得对所有 $ f \in P_{4,2} $ 满足 $ \alpha M_S(f)T(f) - R_S(f) \geq 0 $ 的最小常数 $ \alpha $ 为 15，且该值是紧的。
• 二次型 $ M_S(f) $ 的特征值为 12（重数 4）与 6（重数 2），其对应的正交特征子空间位于 $ P_{4,2} $ 中。
• 泛函 $ R_S(f) $ 可表示为两个秩-1 二次型的乘积，且其在 $ M_S(f) $ 的特征基下的作用被完全刻画。
• 内积 $ \langle f, g \rangle = \int_{S^3} fg d\sigma $ 允许显式计算再生核 $ P_v $，满足 $ \langle f, P_v \rangle = f(v) $。
• 将 $ P_a + P_b $ 投影到 $ P_{ij} $ 张成的子空间上，结果为 $ \frac{1}{6} \sum P_{ij} $，其范数平方为 22，正交分量的范数平方为 10。