[论文解读] Dirac cohomology for symplectic reflection algebras

Dan Ciubotaru|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文提出了一套适用于德林费尔德扭结代数中狄拉克算子与狄拉克上同调的统一框架，将早期关于分次仿射扭结代数的理论推广至更广范畴。该理论应用于辛反射代数，特别是有理哈里奇代数，建立了将卡洛戈罗-莫泽空间的0-纤维与不可约表示在中心特征映射下的像相联系的狄拉克同态，从而将其与吕斯蒂格-鲁基耶族联系起来。

ABSTRACT

We define uniformly the notions of Dirac operators and Dirac cohomology in the framework of the Hecke algebras introduced by Drinfeld. We generalize in this way the Dirac cohomology theory for Lusztig's graded affine Hecke algebras. We apply these constructions to the case of symplectic reflection algebras defined by Etingof-Ginzburg, particularly to rational Cherednik algebras for real or complex reflection groups with parameters t,c. As applications, we give criteria for unitarity of modules in category O and we show that the 0-fiber of the Calogero-Moser space admits a description in terms of a certain "Dirac morphism" originally defined by Vogan for representations of real semisimple Lie groups.

研究动机与目标

• 将狄拉克上同调理论从分次仿射扭结代数推广至德林费尔德扭结代数的更广类。
• 在该推广设定下，建立狄拉克算子与狄拉克上同调的统一构造，仅需在基向量空间上具备非退化的W-不变对称双线性型。
• 将该理论应用于辛反射代数，特别是实与复反射群的有理哈里奇代数。
• 为范畴$\mathcal{O}$中模的单位性提供判别准则，改进先前的非单位性结果。
• 证明广义卡洛戈罗-莫泽空间的0-纤维可作为狄拉克同态的像出现，从而将其与表示论中的分划（如吕斯蒂格-鲁基耶族）联系起来。

提出的方法

• 在德林费尔德扭结代数$\mathbf{H}_{\mathbf{a}}$与克利福德代数$C(V)$的张量积上定义狄拉克算子$\mathcal{D}$，利用$V$上的$W$-不变对称双线性型。
• 证明$\mathcal{D}^2$的公式，该公式推广了表示论中经典狄拉克算子平方的结构。
• 建立狄拉克上同调的冯根猜想的类比，证明非零狄拉克上同调可确定模的无穷小特征。
• 构造狄拉克同态$\zeta_c^*: \mathrm{Irr}(W) \to \Upsilon^{-1}(0)$，其中$\Upsilon^{-1}(0)$为广义卡洛戈罗-莫泽空间的0-纤维。
• 利用狄拉克同态，将$\mathbf{H}_{0,c}$中由中心特征划分的$\mathrm{Irr}(W)$与吕斯蒂格-鲁基耶族联系起来。
• 将该理论应用于婴儿韦尔玛模$\bar{M}(\sigma)$，并证明$\bar{L}(\sigma)$的狄拉克上同调可检测$\sigma$在$\zeta_c^*$下的像。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在德林费尔德扭结代数中统一定义狄拉克上同调，从而将理论从分次仿射扭结代数推广？
• RQ2 在该推广设定下，狄拉克算子平方$\mathcal{D}^2$的结构是什么？
• RQ3 狄拉克同态$\zeta_c^*$如何将$W$的表示理论与卡洛戈罗-莫泽空间的几何联系起来？
• RQ4 狄拉克上同调能否检测有理哈里奇代数范畴$\mathcal{O}$中的单位性？
• RQ5 狄拉克同态$\zeta_c^*$是否将$\mathrm{Irr}(W)$的卡洛戈罗-莫泽分划与吕斯蒂格-鲁基耶族对应起来？

主要发现

• 狄拉克算子$\mathcal{D}$满足广义平方公式：$\mathcal{D}^2 = \text{卡西米尔型项} + \text{中心元素}$，适用于德林费尔德扭结代数框架。
• 冯根猜想的类比成立：非零狄拉克上同调可确定模的无穷小特征。
• 广义卡洛戈罗-莫泽空间的0-纤维$\Upsilon^{-1}(0)$同构于狄拉克同态$\zeta_c^*: \mathrm{Irr}(W) \to \Upsilon^{-1}(0)$的像，从而为中心特征映射提供了几何实现。
• 该同态$\zeta_c^*$是中心特征映射$\Theta: \mathrm{Irr}(W) \to \Upsilon^{-1}(0)$的$\varepsilon$-对偶，如引理5.10所示。
• 对于参数为常数$c$的二面体群$B_2$，表示$11\times 0$、$1\times 1$与$0\times 2$位于$\Theta$的同一纤维中，证实它们构成一个吕斯蒂格族。
• 在$B_2$中，对于$\sigma = 11\times 0$的单模$\bar{L}(\sigma)$，其狄拉克上同调为$\sigma \otimes \bigwedge \mathfrak{h} = (11\times 0) + (1\times 1) + (0\times 2)$，证实狄拉克同态的像非平凡。