[论文解读] Dirac-Kahler equation in curved space-time, relation between spinor and tensor formulations

В. М. Редьков|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2011

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文通过从旋量形式推导张量波方程，建立了在弯曲时空中的狄拉克-凯勒方程的一般协变形式，证明了旋量描述与张量描述之间的等价性。结果表明，在一般协变性下，狄拉克-凯勒场可分解为标量、赝标量、矢量和赝矢量分量，通过 tetrad 或坐标基伪张量分类方法导出约束，从而在弯曲几何中为所有四种玻色子粒子类型（自旋 0 和自旋 1）得到一致的波方程。

ABSTRACT

A common view is that generalization of a wave equation on Riemannian space-time is substantially determined by what a particle is - boson or fermion. As a rule, they say that tensor equations for bosons are extended in a simpler way then spinor equations for fermions. In that context, a very interesting problem is of extension a wave equation for Dirac--Kähler field (Ivanenko--Landau field was historically first term, also the term a vector field of general type was used). The article relates a generally covariant tensor formalism to a spinor one when these both are applied to description of the Dirac-Kähler field in a Rimannian space-time. Both methods are taken to be equivalent and the tensor equations are derived from spinor ones. It is shown that, for characterization of Dirac-Kähler's tensor components, two alternative approaches are suitable: these are whether a tetrad-based pseudo tensor classification or a generally coordinate pseudo tensor one. By imposing definite restrictions on the the Dirac-Kähler function, we have produced the general covariant form of wave equations for scalar, pseudoscalar, vector, and pseudovector particles.

研究动机与目标

• 在黎曼时空建立狄拉克-凯勒方程的一般协变张量形式。
• 在弯曲几何中证明狄拉克-凯勒场的旋量形式与张量形式之间的等价性。
• 通过基于 tetrad 和基于坐标系的伪张量方法，将场分量分类为标量、赝标量、矢量和赝矢量粒子。
• 在一般协变性下，为每种粒子类型（自旋 0 和自旋 1）推导出一致的波方程。
• 证明在闵可夫斯基时空中的四类玻色场（标量、赝标量、矢量、赝矢量）的分离约束在弯曲时空下依然成立。

提出的方法

• 通过狄拉克矩阵展开从 16 分量旋量波函数推导张量分量：$ U(x) = [-i\Psi + \gamma^l \Psi_l + i\sigma^{mn} \Psi_{mn} + \gamma^5 \tilde{\Psi} + i\gamma^l\gamma^5 \tilde{\Psi}_l] E^{-1} $。
• 通过将偏导数替换为协变导数 $ \partial_a \to \nabla^\alpha $ 实现一般协变性，保持弯曲时空中的洛伦兹结构。
• 使用基于 tetrad 和基于坐标系的伪张量分类方法，表征场分量及其内在宇称。
• 对狄拉克-凯勒函数施加约束，以分离出标量、赝标量、矢量和赝矢量场。
• 推导出四组分别对应于各场的波方程：标量和赝标量场满足普罗卡型方程，矢量和轴矢量场满足拉蒂塔-施温格型方程。
• 通过里曼张量项和协变导数的对易子验证，约束（如 $ \nabla^\alpha \Psi_\alpha = 0 $）在弯曲时空下恒成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过张量形式在弯曲时空下一致地推广狄拉克-凯勒场？
• RQ2 在一般黎曼背景中，狄拉克-凯勒方程的旋量形式与张量形式之间的确切关系是什么？
• RQ3 基于 tetrad 的伪张量形式与基于坐标系的伪张量形式，哪种方法更能保持场分量的物理诠释？
• RQ4 在闵可夫斯基时空下用于分离标量、赝标量、矢量和赝矢量场的约束，在弯曲时空下是否依然有效？
• RQ5 能否从一般协变的狄拉克-凯勒方程中一致地推导出所有四种玻色子粒子类型（自旋 0 和自旋 1）的波方程？

主要发现

• 通过一般协变性，从旋量形式推导出狄拉克-凯勒场在弯曲时空中的张量波方程，其中 $ \partial_a \to \nabla^\alpha $。
• 标量和赝标量场分别满足普罗卡方程：$ \nabla^\alpha \Psi_\alpha + m\Psi = 0 $ 和 $ \nabla^\alpha \tilde{\Psi}_\alpha + m\tilde{\Psi} = 0 $。
• 矢量和赝矢量场由包含协变导数和列维-奇维塔张量的方程控制：$ \nabla_\alpha \Psi + \nabla^\beta \Psi_{\alpha\beta} - m\Psi_\alpha = 0 $ 和 $ \tilde{\nabla}_\alpha \tilde{\Psi} - \frac{1}{2} \epsilon^{\beta\rho\sigma}_\alpha \nabla_\beta \Psi_{\rho\sigma} - m\tilde{\Psi}_\alpha = 0 $。
• 由于里曼张量的对称性，约束如 $ \nabla^\alpha \Psi_\alpha = 0 $ 和 $ \nabla^\alpha \tilde{\Psi}_\alpha = 0 $ 在弯曲时空下恒成立。
• 在一般协变性下，场被分解为四类玻色子场（标量、赝标量、矢量、赝矢量）的结构保持不变，其约束与闵可夫斯基时空中的形式完全相同。
• 使用 tetrad 形式可在任意弯曲时空模型中一致处理离散洛伦兹对称性，包括内在宇称。