[论文解读] Dirac structures of omni-Lie algebroids

Zhuo Chen, Zhangju Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文在广义李代数胚 $\mathfrak{D}E \oplus \mathfrak{J}E$ 中建立了可约狄拉克结构与 $\mathcal{T} = TM \oplus E$ 中的射影李代数胚之间的一一对应关系，表明此类结构通过约化理论编码了 $E$ 上的李代数胚结构。此外，本文将狄拉克结构的法化子与相关射影李代数胚的导子代数联系起来，并将上同调群 $\mathrm{H}^1(L,\rho_L)$ 和 $\mathrm{H}^2(L,\rho_L)$ 分别与狄拉克结构的法化子和形变理论联系起来。

ABSTRACT

Omni-Lie algebroids are generalizations of Alan Weinstein's omni-Lie algebras. A Dirac structure in an omni-Lie algebroid $\dev E\oplus \jet E$ is necessarily a Lie algebroid together with a representation on $E$. We study the geometry underlying these Dirac structures in the light of reduction theory. In particular, we prove that there is a one-to-one correspondence between reducible Dirac structures and projective Lie algebroids in $\huaT=TM\oplus E$; we establish the relation between the normalizer $N_{L}$ of a reducible Dirac structure $L$ and the derivation algebra $\Der(\pomnib (L))$ of the projective Lie algebroid $\pomnib (L)$; we study the cohomology group $\mathrm{H}^\bullet(L,ρ_{L})$ and the relation between $N_{L}$ and $\mathrm{H}^1(L,ρ_{L})$; we describe Lie bialgebroids using the adjoint representation; we study the deformation of a Dirac structure $L$, which is related with $\mathrm{H}^2(L,ρ_{L})$.

研究动机与目标

• 理解广义狄拉克结构在广义李代数胚中的几何与代数结构，其推广了广义李代数。
• 阐明狄拉克结构如何通过约化理论在向量丛 $E$ 上编码李代数胚结构。
• 在 $\mathcal{T} = TM \oplus E$ 中建立可约狄拉克结构与射影李代数胚之间的一一对应关系。
• 将可约狄拉克结构的法化子与相关射影李代数胚的导子代数联系起来。
• 研究狄拉克结构的上同调 $\mathrm{H}^\bullet(L,\rho_L)$ 及其在形变理论中的作用。

提出的方法

• 引入广义柯朗代数胚 $\mathfrak{D}E \oplus \mathfrak{J}E$ 作为编码 $E$ 上所有李代数胚结构的广义柯朗代数胚。
• 将可约狄拉克结构 $L \subset \mathfrak{D}E \oplus \mathfrak{J}E$ 定义为在 $\mathcal{T} = TM \oplus E$ 上的投影 $\mathbf{b}(L)$ 为正则子丛的结构。
• 利用下落算子 $X \mapsto X_\bullet$ 将法化子 $N_L$ 的截面与射影李代数胚 $\mathbf{b}(L)$ 的导子联系起来。
• 构造狄拉克结构在 $E$ 上的表示 $\rho_L: L \to \mathfrak{D}E$，从而定义上同调 $\mathrm{H}^\bullet(L, \rho_L)$。
• 将上同调群 $\mathrm{H}^1(L, \rho_L)$ 和 $\mathrm{H}^2(L, \rho_L)$ 分别与狄拉克结构的法化子和形变联系起来。
• 利用算子 $T^X$ 刻画射影李代数胚 $A$ 的形变，其中 $T^X = 0$ 是可积性的必要条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义李代数胚中的一般狄拉克结构具有何种几何意义？
• RQ2 可约狄拉克结构与 $\mathcal{T} = TM \oplus E$ 中的射影李代数胚之间有何关系？
• RQ3 可约狄拉克结构 $L$ 的法化子 $N_L$ 与相关射影李代数胚的导子代数 $\mathrm{Der}(\mathbf{b}(L))$ 之间的确切关系为何？
• RQ4 狄拉克结构的上同调 $\mathrm{H}^\bullet(L, \rho_L)$ 如何与它的法化子和形变理论相关联？
• RQ5 对截面 $X \in \Gamma(\mathcal{E})$ 的何种条件可确保其诱导出射影李代数胚 $A = \mathbf{b}(L)$ 的形变？

主要发现

• 在广义李代数胚 $\mathfrak{D}E \oplus \mathfrak{J}E$ 中，可约狄拉克结构与 $\mathcal{T} = TM \oplus E$ 中的射影李代数胚之间存在一一对应关系，如定理 3.7 所示。
• 对任意 $X \in N_{L^A}$，下落算子 $X_\bullet$ 映射到 $\mathrm{Der}(A)$ 中的元素，且反之，$\mathrm{Der}(A)$ 中的每个导子均可提升至 $N_{L^A}$ 中的元素，从而在 $N_{L^A}$ 与 $\mathrm{Der}(A)$ 之间建立李代数同构。
• 可约狄拉克结构 $L$ 的法化子 $N_L$ 同构于 $\mathrm{H}^1(L, \rho_L)$，将几何对称性与上同调数据联系起来。
• 射影李代数胚 $A$ 的形变由 $\mathrm{H}^2(L, \rho_L)$ 控制，其障碍由通过下落算子定义的张量 $T^X$ 控制。
• 若张量 $\Omega: A \wedge A \to A \cap E$ 满足雅可比型恒等式 (30)，则其生成 $A$ 的形变，且此类 $\Omega$ 可通过方程 (29) 由 $X \in N_{L^A}$ 导出。
• 算子 $X_\bullet$ 在 $A$ 上的作用类似于尼坚纽斯算子，且 $X_\bullet$ 为丛映射当且仅当 $X \in \Gamma(\mathrm{Hom}(\mathcal{T}, E))$，此时 $T^X = 0$ 意味着 $X_\bullet$ 是一个尼坚纽斯算子。