[论文解读] Generalizing Geometry - Algebroids and Sigma Models

Alexei Kotov, Thomas Strobl|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 32被引用 24

一句话总结

本文建立了广义几何（特别是李代数胚与考兰特代数胚）与拓扑σ模型（包括AKSZ与Dirac σ模型）之间的深层联系。它表明，AKSZ构造通过QP-流形将Chern-Simons理论推广，其作用泛函作为目标空间上一个典范1-形式的拉回，从而在代数胚与Dirac结构的几何框架下，统一了高阶规范理论与特征类。

ABSTRACT

In this contribution we review some of the interplay between sigma models in theoretical physics and novel geometrical structures such as Lie (n-)algebroids. The first part of the article contains the mathematical background, the definition of various algebroids as well as of Dirac structures, a joint generalization of Poisson, presymplectic, but also complex structures. Proofs are given in detail. The second part deals with sigma models. Topological ones, in particular the AKSZ and the Dirac sigma models, as generalizations of the Poisson sigma models to higher dimensions and to Dirac structures, respectively, but also physical ones, that reduce to standard Yang Mills theories for the "flat" choice of a Lie algebra: Lie algebroid Yang Mills theories and possible action functionals for nonabelian gerbes and general higher gauge theories. Characteristic classes associated to Dirac structures and to higher principal bundles are also mentioned.

研究动机与目标

• 统一拓扑σ模型与广义几何结构，如李代数胚、考兰特代数胚与Dirac结构。
• 将AKSZ构造推广至目标空间为QP-流形的高维σ模型。
• 阐明高阶规范理论中的特征类如何源自QP-流形上的Chern-Weil形式。
• 确立AKSZ σ模型的作用泛函即为目标QP-流形上典范1-形式的拉回。
• 证明即使在非可积李代数胚的情形下，仍可支持有意义的拓扑σ模型，如Poisson σ模型。

提出的方法

• 使用AKSZ方案，构造目标空间为度数d−1的QP-流形的拓扑σ模型。
• 应用QP-流形形式，将Chern-Simons作用泛函推广为T*[d−1]Ẽ₂上典范1-形式的拉回，其中Ẽ₂为度数1的QP-流形。
• 引入Dirac结构，作为Poisson、预辛与复结构的联合推广，基于Schouten-Nijenhuis括号与扭Poisson条件。
• 依赖Chern-Weil形式，将李代数上的不变对称双线性型与特征类联系起来，解释为移位李代数上的辛形式。
• 确立AKSZ作用泛函等于目标QP-流形上辛形式拉回的积分，利用微分的链式性质与Q-结构的哈密顿提升。
• 通过考虑李代数胚联络与场强，将形式体系应用于Yang-Mills型理论，将标准Yang-Mills理论推广至高阶规范理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义几何结构（如Dirac与考兰特代数胚）如何从拓扑σ模型中自然涌现？
• RQ2 AKSZ σ模型作用泛函在QP-流形与辛形式下的精确几何起源为何？
• RQ3 高阶规范理论中的特征类如何与Chern-Simons作用泛函及QP-流形的几何相关联？
• RQ4 当底层李代数胚不可积时，拓扑σ模型是否仍可一致定义？
• RQ5 QP-流形余切丛上的典范1-形式在生成AKSZ模型作用泛函中起何作用？

主要发现

• 在具有边界Σ的(d+1)维流形上，AKSZ σ模型的作用泛函等于目标QP-流形M₂上辛形式ω的拉回的积分，如式(8.16)所示。
• AKSZ作用泛函可表示为由映射f拉回T*[d−1]Ẽ₂上的典范1-形式，其微分通过f*ω给出作用泛函，如推论8.2所示。
• 具有不变度量κ的李代数g的Chern-Weil映射对应于g[1]上度数为2的辛形式ω，将第二陈类推广至高阶形式。
• AKSZ构造将Pontryagin类与Chern-Simons理论之间的关系推广至任意QP-流形，而不仅限于李代数构造的流形。
• 即使目标Poisson流形不可积，Poisson σ模型仍保持拓扑性且定义良好，表明Q-丛形式体系比可积群胚图像更具一般性。
• 当目标QP-流形为移位李代数胚时，李代数胚Yang-Mills理论与非交换纤维丛自然地从AKSZ框架中涌现，为高阶规范理论提供了统一的作用原理。