[论文解读] Discontinuous Galerkin Isogeometric Analysis on Non-matching Segmentation: Error Estimates and Efficient Solvers

Christoph Hofer, Ulrich Langer+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2016

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 1被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种间断伽辽金等几何分析（dG IgA）方法，用于在存在间隙和重叠区域的非匹配多子域几何上求解椭圆扩散问题。当标准数值通量失效时，该方法引入基于泰勒展开的通量近似来耦合各子域问题，即使在扩散系数跳跃较大的情况下，仍能实现最优收敛率和鲁棒的求解性能，且结合高效的 IETI-DP 求解器。

ABSTRACT

The Isogeometric Analysis (IgA) of boundary value problems in complex domains often requires a decomposition of the computational domain into patches such that each of which can be parametrized by the so-called geometrical mapping. In this paper, we develop discontinuous Galerkin (dG) IgA techniques for solving elliptic diffusion problems on decompositions that can include non-matching parametrizations of the interfaces, i.e., the interfaces of the adjacent patches may be not identical. The lack of the exact parametrization of the patches leads to the creation of gap and overlapping regions between the patches. This does not allow the immediate use of the classical numerical fluxes that are known in the literature. The unknown normal fluxes of the solution on the non-matching interfaces are approximated by Taylor expansions using the values of the solution computed on the boundary of the patches These approximations are used in order to build up the numerical fluxes of the final dG IgA scheme and to couple the local patch-wise discrete problems. The resulting linear systems are solved by using efficient domainecomposition methods based on the tearing and interconnecting technology. We present numerical results of a series of test problems that validate the theoretical estimates presented.

研究动机与目标

• 解决在参数化不匹配导致间隙和重叠的子域划分计算域上求解椭圆扩散问题的挑战。
• 当因分割罪行（segmentation crimes）导致标准数值通量无法应用时，开发一种稳定且精确的 dG IgA 格式。
• 即使在几何中存在间隙和重叠区域引起的近似误差，仍确保最优收敛率。
• 通过域分解方法，特别是 IETI-DP 求解器，实现对所得线性系统的高效求解。
• 在具有已知精确解的 2D 和 3D 问题上验证该方法，涵盖不同扩散系数的情况。

提出的方法

• 基于每个子域内部解的值，利用泰勒展开近似间隙和重叠界面处的法向通量。
• 通过引入这些基于泰勒的通量近似，构造 dG IgA 格式的新数值通量，以在非匹配界面处弱强制连续性。
• 采用基于 B 样条或 NURBS 的等几何离散化，实现对解和几何的高阶逼近。
• 应用基于顶点、边和面平均值的主变量的 IETI-DP 域分解方法，高效求解全局线性系统。
• 在预条件子中引入系数和刚度缩放，以增强求解器鲁棒性并降低条件数。
• 推导了依赖于网格尺寸 $ h $ 和间隙/重叠区域最大宽度的 dG-范数下先验误差估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 当子域间界面参数化不匹配导致间隙和重叠时，dG IgA 是否仍能实现最优收敛率？
• RQ2 在缺乏精确界面匹配的情况下，如何构造数值通量？通量近似对精度有何影响？
• RQ3 IETI-DP 求解器在处理具有复杂几何结构的非匹配子域划分的 dG IgA 系统时，是否保持鲁棒性能？
• RQ4 在非匹配设置下，扩散系数的大幅跳跃如何影响线性系统的收敛性和条件数？
• RQ5 主变量选择与缩放策略在 IETI-DP 求解器针对此类问题的性能中起什么作用？

主要发现

• 所提出的 dG IgA 方法在 dG-范数下实现了最优收敛率，收敛阶数与理论预期一致，经数值实验验证。
• 预条件 IETI-DP 系统的条件数保持较小且几乎不随网格细化而变化，表明求解器具有鲁棒性能。
• 共轭梯度迭代次数保持较低且稳定（例如，7–16 次迭代），即使在包含最多 240,424 个自由度的大规模系统中亦然。
• 在具有异质扩散系数的 3D 例子中，预条件子中的系数缩放优于刚度缩放，性能更优。
• 即使在子域界面处扩散系数存在大幅跳跃，该方法仍保持精度和求解效率。
• 数值结果验证了理论误差估计，显示随着网格细化和间隙/重叠宽度减小，收敛率趋近于预期值。