[论文解读] Discrepancy in random hypergraph models

Aditya Potukuchi|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2018

Mathematical Approximation and Integration参考文献 13被引用 9

一句话总结

本文研究了两种随机模型中的超图不协调性：$χ_1$（每个顶点恰好属于 $t$ 条边的 $t$-正则超图）和 $χ_2$（边概率为 $p$ 的独立同分布关联矩阵）。对于 $χ_1$，证明了当 $ \log^{10}n \ll t \ll \sqrt{n}$ 且 $m=n$ 时，不协调性以高概率为 $O(\sqrt{t})$，优于先前的界。对于 $χ_2$，当 $p=1/2$ 且 $n=\Omega(m\log m)$ 时，不协调性以高概率至多为 1，解决了 Hoberg 和 Rothvoss 提出的一个开放问题。

ABSTRACT

We study hypergraph discrepancy in two closely related random models of hypergraphs on $n$ vertices and $m$ hyperedges. The first model, $\mathcal{H}_1$, is when every vertex is present in exactly $t$ randomly chosen hyperedges. The premise of this is closely tied to, and motivated by the Beck-Fiala conjecture. The second, perhaps more natural model, $\mathcal{H}_2$, is when the entries of the $m imes n$ incidence matrix is sampled in an i.i.d. fashion, each with probability $p$. We prove the following: 1. In $\mathcal{H}_1$, when $\log^{10}n \ll t \ll \sqrt{n}$, and $m = n$, we show that the discrepancy of the hypergraph is almost surely at most $O(\sqrt{t})$. This improves upon a result of Ezra and Lovett for this range of parameters. 2. In $\mathcal{H}_2$, when $p= \frac{1}{2}$, and $n = Ω(m \log m)$, we show that the discrepancy is almost surely at most $1$. This answers an open problem of Hoberg and Rothvoss.

研究动机与目标

• 分析两种密切相关模型中随机超图的不协调性：$\mathcal{H}_1$（$t$-正则）和 $\mathcal{H}_2$（独立同分布关联矩阵）。
• 在 $t$ 较大时改进 $\mathcal{H}_1$ 模型中超图不协调性的现有上界。
• 解决 Hoberg 和 Rothvoss 提出的关于 $\mathcal{H}_2$ 在 $p=1/2$ 且 $n=\Omega(m\log m)$ 时的不协调性开放问题。
• 提供一种构造性算法，以实现 $\mathcal{H}_1$ 中的 $O(\sqrt{t})$ 不协调性界。

提出的方法

• 采用受 Spencer 和 Lovett-Meka 启发的局部着色方法，通过迭代着色顶点以减少不协调性。
• 应用具有有界差值的鞅集中度论证，以控制随机关联矩阵上线性形式的偏离。
• 使用有界方差鞅不等式，表明关联矩阵子集上带符号条目的和会紧密集中在其均值附近。
• 引入关联矩阵的结构化分解，将其划分为低影响部分和高影响部分，以隔离并控制大偏差。
• 在 Lovász 局部引理框架下进行修改，以处理 $\mathcal{H}_1$ 中的大超边，确保其不协调性保持较小。
• 通过局部着色引理建立构造性算法，运行时间为随机多项式时间 $\text{poly}(n)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $t$ 较大但 $t \ll \sqrt{n}$ 且 $m=n$ 时，随机 $t$-正则超图的典型不协调性是多少？
• RQ2 在该参数范围内，是否可以在随机 $t$-正则超图中实现 Beck-Fiala 猜想中的 $O(\sqrt{t})$ 不协调性界？
• RQ3 当 $n=\Omega(m\log m)$ 时，具有独立同分布 $\text{Bernoulli}(1/2)$ 关联条目的随机超图的不协调性是多少？
• RQ4 是否可能在该模型中实现不协调性为 1，且这是否解决了 Hoberg 和 Rothvoss 提出的开放问题？
• RQ5 构造性局部着色方法是否可被调整，以在随机超图模型中产生高效的不协调性最小化算法？

主要发现

• 对于 $\mathcal{H}_1$，当 $C_1\log^{10}n \ll t \ll \sqrt{n}$ 且 $m=n$ 时，不协调性以高概率至多为 $O(\sqrt{t})$，优于 Ezra 和 Lovett 的 $O(\sqrt{t\log t})$ 界。
• 通过运行时间为随机多项式时间 $\text{poly}(n)$ 的构造性算法实现了 $O(\sqrt{t})$ 不协调性界。
• 对于 $\mathcal{H}_2$，当 $p=1/2$ 且 $n=\Omega(m\log m)$ 时，不协调性以高概率至多为 1，解决了 Hoberg 和 Rothvoss 提出的开放问题。
• 证明依赖于具有有界差值和方差的鞅集中度论证，表明在关联矩阵的结构化子集上带符号条目的和会紧密集中在均值附近。
• 分析表明，随机矩阵条目对不协调性的期望贡献为 $O(\sqrt{t})$，且由有界方差鞅不等式可推出高概率集中性。
• 对于 $\mathcal{H}_2$ 的结果意味着，当 $p=1/2$ 且顶点数相对于边数足够多时，随机超图以高概率具有接近最优的不协调性 1。