[论文解读] Discrete ABP Estimate and Convergence Rates for Linear Elliptic Equations in Non-divergence Form

Ricardo H. Nochetto, Wujun Zhang|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 35被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于非散度形式线性椭圆PDE的两尺度有限元方法，结合细尺度FEM与粗尺度积分微分逼近，实现了最优收敛率。它建立了离散的Alexandroff-Bakelman-Pucci（ABP）估计，并证明了在$ C^{2,\beta} $正则性假设下，点态误差界为$ h^{2\beta/(2+\beta)} |\text{ln}\thinspace h| $，该结果为拟最优。

ABSTRACT

We design a two-scale finite element method (FEM) for linear elliptic PDEs in non-divergence form $A(x) : D^2 u(x) = f(x)$ in a bounded but not necessarily convex domain $Ω$ and study it in the max norm. The fine scale is given by the meshsize $h$ whereas the coarse scale $ε$ is dictated by an integro-differential approximation of the PDE. We show that the FEM satisfies the discrete maximum principle (DMP) for any uniformly positive definite matrix $A$ provided that the mesh is face weakly acute. We establish a discrete Alexandroff-Bakelman-Pucci (ABP) estimate which is suitable for finite element analysis. Its proof relies on a discrete Alexandroff estimate which expresses the min of a convex piecewise linear function in terms of the measure of its sub-differential, and thus of jumps of its gradient. The discrete ABP estimate leads, under suitable regularity assumptions on $A$ and $u$, to pointwise error estimates of the form \begin{equation*} \| u - u^ε_h \|_{L_\infty(Ω)} \leq \, C(A,u) \, h^{2α/(2 + α)} \big| \ln h \big| \qquad 0< α\leq 2, \end{equation*} provided $ε\approx h^{2/(2+α)}$. Such a convergence rate is at best of order $ h \big| \ln h \big|$, which turns out to be quasi-optimal.

研究动机与目标

• 为非凸区域中非散度形式的线性椭圆PDE开发一种稳定且收敛的有限元方法。
• 在面弱锐角网格下，为分片线性FEM建立离散最大值原理（DMP）。
• 推导适用于有限元误差分析的离散Alexandroff-Bakelman-Pucci（ABP）估计。
• 在系数矩阵和解的正则性假设最小化的前提下，量化最大范数下的收敛速率。
• 通过自适应粗尺度参数$ \epsilon $的两尺度FEM模拟，数值验证理论收敛速率。

提出的方法

• 设计一种两尺度有限元方法（FEM），采用细网格尺寸$ h $和粗尺度$ \epsilon \approx h^{2/(2+\alpha)} $，其中$ \alpha $量化了解的正则性。
• 引入一种离散的Alexandroff估计，通过次微分的测度和梯度跃迁来表达凸分片线性函数的最小值。
• 建立一种离散ABP估计，其将误差的负部以离散算子的一致性误差为界。
• 证明对于任意一致正定矩阵$ A $，只要网格为面弱锐角，即可满足离散最大值原理（DMP）。
• 利用离散ABP估计，在解具有$ C^{2,\alpha} $正则性且系数矩阵具有$ C^{0,\alpha} $正则性的前提下，推导出点态$ L^\infty $误差界。
• 实现一种具有自适应$ \epsilon $的两尺度FEM求解器，并通过数值实验验证$ C^{2,\alpha} $-解和$ C^{0,\alpha} $-系数下的收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 两尺度FEM能否在最大范数下实现非散度形式椭圆PDE的最优收敛率？
• RQ2 在非凸区域中，分片线性FEM能否保持离散稳定性和最大值原理性质？
• RQ3 如何构建一种离散ABP估计，以控制非散度形式PDE的FEM点态误差？
• RQ4 如何在细尺度分辨率$ h $与粗尺度参数$ \epsilon $之间取得最优平衡，以最大化收敛速率？
• RQ5 理论收敛率$ h^{2\alpha/(2+\alpha)} |\text{ln}\thinspace h| $能否在$ C^{2,\alpha} $-解和$ C^{0,\alpha} $-系数下通过数值实验验证？

主要发现

• 当网格为面弱锐角时，两尺度FEM对任意一致正定系数矩阵$ A $均满足离散最大值原理。
• 推导出一种离散Alexandroff估计，通过次微分的测度和梯度跃迁来表达凸分片线性函数的最小值。
• 建立了离散ABP估计，该估计可实现点态$ L^\infty $误差控制，是收敛性分析的核心。
• 在解具有$ C^{2,\alpha} $正则性且$ A $具有$ C^{0,\alpha} $正则性的前提下，方法的收敛速率为$ \|u - u_h^\epsilon\|_{L^\infty(\Omega)} \leq C(A,u) h^{2\alpha/(2+\alpha)} |\text{ln}\thinspace h| $，其中$ \epsilon \approx h^{2/(2+\alpha)} $。
• 数值实验验证了$ \alpha = 0.4 $时预测的收敛速率$ O(h^{1/3}) $，与理论边界一致。
• 当$ \epsilon $取为$ O(h^{2/(3+\alpha)}) $时，数值上观察到约$ O(h^{0.82}) $的更快收敛速率，表明在$ C^{2,\alpha} $理论之外存在改进收敛速率的潜力。