[论文解读] On pointwise Kan extensions in double categories

Seerp Roald Koudenburg|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文在双范畴中引入了一种类点态左 Kan 扩张的统一概念，该概念同时推广了 Dubuc 的丰富范畴方法与 Street 的 2-范畴定义。通过利用结构中的上开卡普拉表（opcartesian tabulations），本文表明点态左 Kan 扩张可通过类似逗号结构的表征方式，用普通左 Kan 扩张来刻画，从而调和了两种经典定义，并将它们的适用范围扩展至丰富范畴与内部范畴。

ABSTRACT

In this paper we consider a notion of pointwise Kan extension in double categories that naturally generalises Dubuc's notion of pointwise Kan extension along enriched functors. We show that, when considered in equipments that admit opcartesian tabulations, it generalises Street's notion of pointwise Kan extension in 2-categories.

研究动机与目标

• 调和 Dubuc 在丰富范畴中关于点态左 Kan 扩张的定义与 Street 在 2-范畴中的定义。
• 将点态左 Kan 扩张的概念从 2-范畴推广至一般的双范畴。
• 建立一个框架，使得在具有上开卡普拉表的结构中，点态左 Kan 扩张可借助普通左 Kan 扩张来定义，类似于 Street 的逗号对象构造。
• 证明在此类结构中得到的定义在限制到结构的垂直 2-范畴时，可恢复 Street 的 2-范畴点态左 Kan 扩张。

提出的方法

• 通过精确细胞（exact cells）的概念，在双范畴中引入点态左 Kan 扩张的新定义，该概念推广了函子范畴中的精确方阵。
• 将‘精确细胞’定义为：其前复合操作保持定义点态左 Kan 扩张的细胞类。
• 利用结构中的上开卡普拉表概念，推广 2-范畴中的逗号对象构造。
• 证明在具有所有上开卡普拉表的结构中，点态左 Kan 扩张可通过普通左 Kan 扩张来刻画，与 Street 的 2-范畴定义相一致。
• 将该框架应用于合适范畴 E 中的内部范畴，证明此类结构均具有所有上开卡普拉表。
• 利用泛性质构造一个范畴化型对象 ⟨J⟩ 的内部范畴结构，该结构通过一个 profunctor 的表征实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 Dubuc 在丰富范畴中关于点态左 Kan 扩张的定义能否在双范畴中推广，使得其在结构的垂直 2-范畴中可恢复 Street 的 2-范畴定义？
• RQ2 何种条件下，双范畴中可借助对逗号对象的推广，通过普通左 Kan 扩张来定义点态左 Kan 扩张？
• RQ3 双范畴中的精确细胞与函子范畴中经典精确方阵的概念有何关联？
• RQ4 在合适范畴 E 中的内部范畴结构是否具有上开卡普拉表，从而支持点态左 Kan 扩张的新定义？
• RQ5 该新的双范畴框架能否统一不同范畴设定下已有的点态左 Kan 扩张概念？

主要发现

• 本文证明，在具有所有上开卡普拉表的结构中，点态左 Kan 扩张可借助普通左 Kan 扩张来定义，推广了 Street 的 2-范畴构造。
• 在双范畴中提出的点态左 Kan 扩张概念，当限制到结构的垂直 2-范畴时，可恢复 Street 的 2-范畴点态左 Kan 扩张定义。
• 在合适范畴 E 中的内部范畴结构具有所有上开卡普拉表，因此支持了新框架。
• 证明了作为 profunctor 表征构造的内部变换 π: ⟨J⟩ → J 的泛性质同时满足一维与二维泛性质。
• 证明了细胞 π 是上开的，这对通过表征刻画点态左 Kan 扩张至关重要。
• 通过定义其源、目标、乘法与单位映射，完成了 ⟨J⟩ 作为内部范畴的构造，且 π 与内部范畴结构相容。