[论文解读] Discrete Approximations and Optimal Control of Nonsmooth Perturbed Sweeping Processes

Boris S. Mordukhovich, Dao Nguyen|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2020

Optimization and Variational Analysis参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文提出了一种离散逼近方法，用于推导由非光滑扰动的法向扫掠过程（非凸且不连续的动力学）所支配的最优控制问题的必要最优性条件。通过结合二阶变分分析与离散格式的强收敛性，建立了针对局部极小值点的新颖的欧拉-拉格朗日条件与最大化型条件，并通过具有非光滑动力学的受控移动机器人模型进行了验证。

ABSTRACT

The main goal of this paper is developing the method of discrete approximations to derive necessary optimality conditions for a class of constrained sweeping processes with nonsmooth perturbations. Optimal control problems for sweeping processes have been recently recognized among the most interesting and challenging problems in modern control theory for discontinuous differential inclusions with irregular dynamics and implicit state constrained, while deriving necessary optimality conditions for their local minimizers have been significantly based on the smoothness of controlled dynamic perturbations. To overcome these difficulties, we use the method of discrete approximations and employ advanced tools of second-order variational analysis. This approach allows us to obtain new necessary optimality conditions for nonsmooth and nonconvex discrete-time problems of the sweeping type. Then we employ the obtained conditions and the strong convergence of discrete approximations to establish novel results for original nonsmooth sweeping control problems that include extended Euler-Lagrange and maximization conditions for local minimizers. Finally, we present applications of the obtained results to solving a controlled mobile robot model with a nonsmooth sweeping dynamics that is of some practical interest.

研究动机与目标

• 解决在非光滑、不连续的扫掠过程且具有非凸动力学的最优控制问题中推导必要最优性条件的挑战。
• 克服现有方法依赖扰动光滑性、在不规则动力学与隐式状态约束下失效的局限性。
• 通过离散逼近与二阶变分分析，建立一个针对非光滑、非凸离散时间扫掠问题的稳健框架。
• 通过离散格式的强收敛性，将这些离散结果推广至连续时间原问题。
• 通过在具有非光滑扫掠动力学的受控移动机器人模型上的应用，验证理论框架。

提出的方法

• 采用离散逼近方法，将连续最优控制问题转化为一系列有限维的非光滑优化问题。
• 应用二阶变分分析中的先进工具，包括广义微分与凸多面体的法锥。
• 通过凸多面体集 $ C = \bigcap_{j=1}^s C^j $ 实现逐点状态约束，其中每个 $ C^j $ 由线性不等式定义。
• 利用扩展的欧拉-拉格朗日条件与最大化型条件，推导离散问题的必要最优性条件。
• 在适当假设下，建立离散解强收敛于连续解的性质。
• 通过离散结果作为基础，应用伴随弧与横截性条件，验证连续情形下的最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当扰动非光滑且非凸时，如何为由非光滑扰动扫掠过程所支配的最优控制问题推导必要最优性条件？
• RQ2 在何种条件下可确保离散逼近解强收敛于原始连续扫掠控制问题的解？
• RQ3 离散逼近方法能否与二阶变分分析有效结合，以处理具有隐式状态约束的不连续、单调动力学？
• RQ4 所推导的最优性条件与光滑最优控制理论中关于Lipschitz连续微分包含的经典结果相比有何异同？
• RQ5 这些条件在建模受控移动机器人等具有非光滑动力学的实际系统时具有何种实际意义？

主要发现

• 离散逼近方法成功地利用二阶变分分析，为非光滑与非凸离散时间扫掠问题推导出新的必要最优性条件。
• 在给定假设下，建立了离散解强收敛于连续解的性质，验证了逼近方法的有效性。
• 对于移动机器人模型，最优控制被确定为 $ (\bar{u}^1, \bar{u}^2) = (3, 1.5) $，碰撞时间 $ t_1 \approx 0.38 $，证实了理论框架的正确性。
• 伴随弧 $ q(t) $ 计算为 $ (-1, -1, -\sqrt{2}, -\sqrt{2}) $，且代价状态 $ p(t) $ 在 $ [0.38, 6] $ 上保持恒定，表明在 $ t_1 $ 处达到边界。
• 通过伴随变量 $ \gamma([t,6]) \approx (56.92, 56.92, 40.01, 40.01) $ 验证了哈密顿函数最大化条件，确认了最优性。
• 解满足定理6.1的所有必要条件，且由于最优解的存在性，所计算的配对 $ (\bar{x}(\cdot), \bar{u}(\cdot)) $ 被确认为最优。