[论文解读] Discrete Decreasing Minimization, Part I: Base-polyhedra with Applications in Network Optimization

András Frank, Kazuo Murota|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 46被引用 8

一句话总结

本文提出了一种在M-凸集上进行离散递减最小化的统一框架，刻画了基多面体的递减最小（dec-min）元素，并证明这些元素构成一个通过平移从拟阵基多面体导出的特殊M-凸集。该研究建立了一个强多项式时间算法，利用子模函数最小化 oracle，并推导出平方和最小化的极小-极大公式，其应用涵盖网络流、图定向及资源分配问题。

ABSTRACT

Borradaile et al. (2017) investigated orientations of an undirected graph in which the sequence of in-degrees of the nodes is lexicographically minimal, which we call decreasingly minimal (=dec-min). They proved that an orientation is dec-min if and only if there is no dipath from $s$ to $t$ with in-degrees $\varrho (t) \geq \varrho (s)+2$. They conjectured that an analogous statement holds for strongly connected dec-min orientations, as well. We prove not only this conjecture but its extension to $k$-edge-connected orientations, as well. We also provide a solution to a discrete version of Megiddo's lexicographically optimal (fractional) network flow problem (1974, 1977). Our main goal is to integrate these cases into a single framework. Namely, we characterize dec-min elements of an M-convex set (which is nothing but the set of integral points of an integral base-polyhedron), and prove that the set of dec-min elements is a special M-convex set arising from a matroid base-polyhedron by translation. The topic of our investigations may be interpreted as a discrete counter-part of the work by Fujishige (1980) on the (unique) lexicographically optimal base of a base-polyhedron. We also exhibit a canonical chain (and partition) associated with a base-polyhedron. We also show that dec-min elements of an M-convex set are exactly those which minimize the square-sum of components, and describe a new min-max formula for the minimum square-sum. Our approach gives rise to a strongly polynomial algorithm for computing a dec-min element, as well as the canonical chain. The algorithm relies on a submodular function minimizer oracle in the general case, which can, however, be replaced by more efficient classic flow- and matroid algorithms in the relevant special cases.

研究动机与目标

• 刻画M-凸集的递减最小（dec-min）元素，即基多面体的整数点。
• 证明dec-min元素的集合是一个通过平移从拟阵基多面体导出的特殊M-凸集。
• 提供一种利用子模函数最小化oracle的强多项式时间算法，用于计算dec-min元素。
• 将结果扩展至有容量限制、k-边连通以及入度受限的图定向问题，以及超图定向问题。
• 解决Megiddo的字典序网络流问题的离散版本，并推广Levin-Onn的平移拟阵优化结果。

提出的方法

• 利用基多面体结构导出的规范链和划分，刻画M-凸集的dec-min元素。
• 证明dec-min元素最小化其分量的平方和，并推导出最小平方和的极小-极大公式。
• 使用Newton–Dinkelbach算法最大化子模函数值的比值，从而高效计算关键值序列。
• 应用定向引理，证明覆盖交叉超模函数的定向的入度向量构成一个M-凸集。
• 利用子模函数最小化oracle，其在特定情况下可被更快的网络流与拟阵算法替代。
• 将结果扩展至k-边连通和(k,ℓ)-边连通定向，以及入度受限和超图定向问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 M-凸集中的递减最小元素集合由什么特征刻画，如何系统性地识别它们？
• RQ2 与基多面体相关的规范链和划分如何计算，其结构意义是什么？
• RQ3 dec-min元素与整数向量分量平方和最小化之间存在何种关系？
• RQ4 该框架能否扩展至k-边连通和入度受限的图定向问题，其必要与充分条件是什么？
• RQ5 离散递减最小化框架与连续字典序优化之间的关系如何？其与网络流和拟阵理论中已知结果的关系是什么？

主要发现

• M-凸集的dec-min元素集合本身是一个M-凸集，具体为拟阵基多面体的平移。
• dec-min元素最小化其分量的平方和，且推导出最小平方和的极小-极大公式。
• 开发了一种强多项式时间算法用于计算dec-min元素，其依赖于子模函数最小化oracle。
• 对于k-边连通和入度受限的定向，存在dec-min定向当且仅当不存在节点对s和t满足ϱ(t) ≥ ϱ(s)+2、ϱ(t) > f(t)、ϱ(s) < g(s)，且存在k+1条边不相交的st-有向路径。
• k-边连通和入度受限的超图定向的入度向量构成一个M-凸集，从而在该设定下可实现dec-min优化。
• 该框架推广并扩展了关于半匹配、网络流和拟阵优化的先前结果，包括Megiddo字典序流问题的离散版本。