[论文解读] Discrete Decreasing Minimization, Part II: Views from Discrete Convex Analysis

András Frank, Kazuo Murota|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 33被引用 10

一句话总结

本文运用离散凸分析（DCA）对整数基多面体上的离散递减最小化进行刻画，提供了关于 M-凸集、流以及子模流的结构性见解，并实现统一。研究证明，递减最小元素构成一个拟阵型 M-凸集，并建立了将离散与连续递减最小性通过最小范数点联系起来的邻近性定理。

ABSTRACT

We continue to consider the discrete decreasing minimization problem on an integral base-polyhedron treated in Part I. The problem is to find a lexicographically minimal integral vector in an integral base-polyhedron, where the components of a vector are arranged in a decreasing order. This study can be regarded as a discrete counter-part of the work by Fujishige (1980) on the lexicographically optimal base and the principal partition of a base-polyhedron in continuous variables. The objective of Part II is two-fold. The first is to offer structural views from discrete convex analysis (DCA) on the results of Part I obtained by the constructive and algorithmic approach. The second objective is to pave the way of DCA approach to discrete decreasing minimization on other discrete structures such as the intersection of M-convex sets, flows, and submodular flows. We derive the structural results in Part I from fundamental facts on M-convex sets and M-convex functions in DCA. A direct characterization is given to the canonical partition, which was constructed by an iterative procedure in Part I. This reveals the precise relationship between the canonical partition for the discrete case and the principal partition for the continuous case. Moreover, this result entails a proximity theorem, stating that every decreasingly minimal element is contained in the small box containing the (unique) fractional decreasingly minimal element (the minimum-norm point), leading further to a continuous relaxation algorithm for finding a decreasingly minimal element of an M-convex set. Thus the relationship between the continuous and discrete cases is completely clarified. Furthermore, we present DCA min-max formulas for network flows, the intersection of two M-convex sets, and submodular flows.

研究动机与目标

• 通过离散凸分析（DCA）提供对离散递减最小化的结构性见解，补充第一部分的算法方法。
• 统一并推广关于 M-凸集、网络流和子模流等离散结构中递减最小性的结果。
• 阐明离散典范划分与连续主划分之间的关系。
• 建立邻近性定理，表明每个递减最小元素均位于最小范数点周围的一个单位方箱内。
• 利用 DCA 中的 Fenchel 型对偶性，推导 M-凸集及其相关结构上可分凸函数的最小-最大公式。

提出的方法

• 通过 DCA 中 M-凸函数的 M-最优性准则，推导出通过 1-紧化步骤刻画递减最小性的方法。
• 在 DCA 中应用 Fenchel 型离散对偶性，推导出最小-最大公式，包括分量平方和的情形。
• 利用 Fenchel 型对偶性，简明证明递减最小元素集合构成一个拟阵型 M-凸集。
• 基于连续情形的主划分，提出对典范划分的新刻画。
• 基于邻近性定理，开发一种连续松弛算法，其中每个递减最小元素均位于最小范数点周围的一个单位方箱内。
• 利用 DCA 中的共轭函数，将最小-最大公式扩展至 M-凸集、网络流和子模流的交集上的可分凸函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用离散凸分析（DCA）的框架重新诠释整数基多面体上的离散递减最小化？
• RQ2 离散典范划分与连续主划分之间的确切关系是什么？
• RQ3 能否利用 DCA 将 M-凸集中递减最小元素的集合刻画为拟阵型 M-凸集？
• RQ4 最小范数点在近似或松弛搜索递减最小元素的过程中起什么作用？
• RQ5 如何在 DCA 中应用 Fenchel 型离散对偶性，推导出 M-凸集及其相关结构上可分凸函数的最小-最大公式？

主要发现

• M-凸集中递减最小元素的集合构成一个拟阵型 M-凸集，该结论通过 DCA 中的 Fenchel 型离散对偶性得到证明。
• 存在邻近性定理：每个递减最小元素均位于以唯一分数递减最小元素（即最小范数点）为中心的单位方箱（小方箱）内。
• 离散情形下的典范划分被完全刻画为连续情形下主划分的限制。
• 分量平方和及其他可分凸函数的最小-最大公式，作为 DCA 中 Fenchel 型离散对偶性的特例被推导出来。
• 本文提供了一种连续松弛算法，用于寻找递减最小元素，其基础为邻近性定理和最小范数点。
• 利用 DCA 中的共轭函数，将最小-最大公式扩展至 M-凸集、网络流和子模流交集上的可分凸函数。