[论文解读] Discrete gauge anomalies revisited

Chang-Tse Hsieh|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 3被引用 29

一句话总结

本文使用 Dai-Freed 定理，重新研究了 3+1D 手征费米子理论中的离散 gauge 异常，计算了在 $\pi_5^{\pi}(B\mathbb{Z}_n)$ 和 $(\mathrm{Spin}(4)\times\mathbb{Z}_{2m})/\mathbb{Z}_2$ 对称群下的异常。推导了未扭结（$\mathrm{Spin}(4)\times\mathbb{Z}_n$）与扭结（$\mathrm{Spin}^{\mathbb{Z}_{2m}}(4)$）两种情形下的异常消除条件，表明异常依赖于对称性扩展，并对电荷归一化和自旋结构敏感，同时对 $\Delta s_3$、$\Delta s_1$ 以及 $\Delta\tilde{s}_3$、$\Delta\tilde{s}_1$ 施加了明确的模形式约束。

ABSTRACT

We revisit discrete gauge anomalies in chiral fermion theories in $3+1$ dimensions. We focus on the case that the full symmetry group of fermions is $\mathrm{Spin}(4) imes\mathbb{Z}_n$ or $(\mathrm{Spin}(4) imes\mathbb{Z}_{2m})/\mathbb{Z}_{2}$ with $\mathbb{Z}_2$ being the diagonal $\mathbb{Z}_2$ subgroup. The anomalies are determined by the consistency condition --- based on the Dai-Freed theorem --- of formulating a chiral fermion theory on a generic spacetime manifold with a structure associated with either one of the above symmetry groups and are represented by elements of some finite abelian groups. Accordingly, we give a reformulation of the anomaly cancellation conditions, and compare them with the previous result by Ibáñez and Ross. The role of symmetry extensions in discrete symmetry anomalies is clarified in a formal fashion. We also study gapped states of fermion with an anomalous global $\mathbb{Z}_n$ symmetry, and present a model for constructing these states in the framework of weak coupling.

研究动机与目标

• 使用现代拓扑场论工具，重新推导 3+1D 手征费米子理论中离散 gauge 异常消除条件。
• 阐明对称性扩展——特别是未扭结 $\mathrm{Spin}(4)\times\mathbb{Z}_n$ 与扭结 $(\mathrm{Spin}(4)\times\mathbb{Z}_{2m})/\mathbb{Z}_2$ 之间的区别——在决定异常中的作用。
• 通过 $\eta$-不变量与等变指标理论，提供一种低能、纯群论的离散 gauge 异常描述。
• 将推导出的异常条件与 Ibáñez 和 Ross 的早期结果进行比较，突出由于对称性扩展与电荷归一化导致的差异。
• 在弱耦合框架下，利用异常约束构造具有异常全局 $\mathbb{Z}_n$ 对称性的能隙费米子态。

提出的方法

• 应用 Dai-Freed 定理，在具有 $\mathrm{Spin}(4)\times\mathbb{Z}_n$ 或 $\mathrm{Spin}^{\mathbb{Z}_{2m}}(4)$ 结构的通用时空流形上构建手征费米子理论，确保路径积分的自洽性。
• 通过在 lens 空间丛 $L(n;1,k_n,1,-1)$ 上计算 $\eta$-不变量，推导异常，使用公式 $\eta(X,R) = \eta(L(n;1,k_n,1,-1), \sigma_n(X)R)$，其中 $X \in T_n$。
• 定义从流形生成元到表示的映射 $\sigma_n: T_n \to RU_0(\mathbb{Z}_n)$，其显式值取决于 $n = p^v$。
• 利用同构 $\sigma_n: S_n \to I_n / (I_n \cap RU_0(\mathbb{Z}_n)^4)$，将异常与群 $\Gamma^{\mathrm{Spin}}_5(B\mathbb{Z}_n)$ 关联，确保异常消除当且仅当 $\eta \in \mathbb{Z}$。
• 通过模约束推导异常消除条件：未扭结情形下为 $ (n^2 + 3n + 2)\Delta s_3 = 0 \mod 6n $ 与 $ 2\Delta s_1 = 0 \mod n $；扭结情形下为 $ (2m^2 + m + 1)\Delta\tilde{s}_3 - (m+3)\Delta\tilde{s}_1 = 0 \mod 48m $ 与 $ m\Delta\tilde{s}_3 + \Delta\tilde{s}_1 = 0 \mod 2m $。
• 在弱耦合模型中构造具有异常 $\mathbb{Z}_n$ 对称性的能隙态，表明此类物相受推导出的异常约束保护。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 3+1D 手征费米子理论中，离散 gauge 异常如何依赖于对称群的选择，特别是未扭结 $\mathrm{Spin}(4)\times\mathbb{Z}_n$ 与扭结 $\mathrm{Spin}^{\mathbb{Z}_{2m}}(4)$ 之间的差异？
• RQ2 离散 $\mathbb{Z}_n$ gauge 对称性的异常消除条件的精确形式是什么？与连续 U(1) 情形有何不同？
• RQ3 对称性扩展——如将 $\mathbb{Z}_n$ 提升为 $\mathbb{Z}_{ln}$，或在扭结与未扭结群之间切换——如何影响异常结构？
• RQ4 在弱耦合框架下，能否一致地构造具有异常全局 $\mathbb{Z}_n$ 对称性的能隙费米子相？它们遵循何种约束？
• RQ5 $\eta$-不变量与等变指标理论在拓扑框架下计算与分类这些异常中扮演何种角色？

主要发现

• 对于未扭结对称群 $\mathrm{Spin}(4)\times\mathbb{Z}_n$，异常消除条件为 $ (n^2 + 3n + 2)\Delta s_3 = 0 \mod 6n $ 与 $ 2\Delta s_1 = 0 \mod n $，其中 $\Delta s_3$ 与 $\Delta s_1$ 分别为 $\mathbb{Z}_n$ 电荷的立方与线性组合。
• 对于扭结群 $\mathrm{Spin}^{\mathbb{Z}_{2m}}(4)$，条件为 $ (2m^2 + m + 1)\Delta\tilde{s}_3 - (m+3)\Delta\tilde{s}_1 = 0 \mod 48m $ 与 $ m\Delta\tilde{s}_3 + \Delta\tilde{s}_1 = 0 \mod 2m $，其中 $\Delta\tilde{s}_3$、$\Delta\tilde{s}_1$ 定义在奇数 $\mathbb{Z}_{2m}$ 电荷上。
• 异常条件对对称性扩展敏感：将 $\mathbb{Z}_n$ 提升为 $\mathbb{Z}_{ln}$ 或在扭结与未扭结群之间切换会改变模约束，这与连续 U(1) 情形不同。
• 在 lens 空间丛上计算 $\eta$-不变量，通过同构 $\sigma_n: S_n \to I_n / (I_n \cap RU_0(\mathbb{Z}_n)^4)$ 实现异常的完整分类，将拓扑与异常约束联系起来。
• 推导出的异常条件推广并澄清了 Ibáñez 和 Ross 的早期结果，表明其基于连续对称性嵌入的方法因忽略对称性扩展依赖性而未能揭示完整结构。
• 在满足异常消除条件的前提下，可在弱耦合模型中构造具有异常全局 $\mathbb{Z}_n$ 对称性的能隙费米子态，证明了所推导约束的物理重要性。