[论文解读] Discrete Hessian complexes in three dimensions

Long Chen, Xuehai Huang|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 37被引用 5

一句话总结

该论文通过多项式张量空间分解，在三维四面体网格上构建了符合要求的虚拟元Hessian复形，实现了线性化爱因斯坦-比安基系统的最优阶离散化。该方法结合了H²-符合的虚拟元与H(div)-符合的有限元，通过Koszul型分解实现，借助精心选择的自由度和基于投影的算子确保了稳定性和可计算性，能量范数下实现了最优收敛速率。

ABSTRACT

A family of conforming virtual element Hessian complexes on tetrahedral meshes are constructed based on decompositions of polynomial tensor spaces. They are applied to discretize the linearized time-independent Einstein-Bianchi system with optimal order convergence.

研究动机与目标

• 在四面体网格上构建三维稳定、符合要求的离散Hessian复形，且自由度最少。
• 利用虚拟元方法，实现线性化时间无关爱因斯坦-比安基系统的最优阶有限元离散化。
• 通过利用虚拟元技术，克服先前有限元Hessian复形中高次多项式复杂度的问题。
• 通过多项式张量空间的新型分解，确保离散复形的良好适定性和可计算性。
• 建立一个保持关键结构（如H(curl)-符合性、L2-投影可计算性）的同时维持最优收敛率的框架。

提出的方法

• 通过Koszul型分解构造离散Hessian复形：Pk(K; S) = ∇²Pk+2(K) ⊕sym(Pk−1(K; T) × x)，适用于四面体上的多项式张量空间。
• 定义虚拟元空间 Σ(K) = ∇²W(K) ⊕sym(V(K) × x)，其中W(K)为H²-符合的虚拟元空间，V(K) = Pk−1(K; T)为H(div)-符合的有限元空间。
• 采用基于投影的方法：QKkσ可通过内部矩计算，eQKk+2σ通过ΠKσ重构，以确保L2-投影的可计算性。
• 使用双线性形式bK和cK定义混合方法的离散双线性形式，通过离散inf-sup条件确保稳定性。
• 应用符合要求的混合虚拟元方法，采用变分形式(91)–(92)，通过局部形式的全局组装计算解。
• 采用一致且稳定的混合有限元公式，依赖于离散inf-sup条件和基于投影的一致性估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在四面体网格上，利用虚拟元方法，构造出自由度少于现有有限元复形的三维符合要求的离散Hessian复形？
• RQ2 在多面体域中，如何在不完整迹表征的情况下，确保具有非齐次边界条件的局部H2问题的良好适定性？
• RQ3 何种多项式张量空间分解可实现Hessian复形的稳定、符合要求的虚拟元空间构造？
• RQ4 能否在此虚拟元框架下，为线性化爱因斯坦-比安基系统实现最优收敛速率？
• RQ5 如何在不显式知道形状函数的情况下，使虚拟元空间到多项式空间的L2-投影具有可计算性？

主要发现

• 在正则性假设下，所提出的虚拟元Hessian复形在H(curl)-范数下对Hessian以及在H2-范数下对势函数均达到最优收敛阶hk。
• 通过新颖的稳定性论证建立了离散inf-sup条件，确保了混合公式的良好适定性。
• 一致性估计(96)–(98)表明，基于投影的算子在相关范数下引入的误差分别有界于hk和hk+1。
• 该方法确保了虚拟元空间到Pk(S)的L2-投影仅通过内部矩和重构算子即可计算。
• 证明了收敛速率∥E − Eh∥H(curl) + ∥σ − σh∥2 ≲ hk(|E|k+1 + ∥σ∥k+2 + |f|k)，确认了光滑解下的最优阶收敛。
• 该构造避免了对高次多项式基函数（如P9）的需求，与先前的有限元复形相比，显著减少了自由度。