[论文解读] Discrete holomorphic local dynamical systems

Marco Abate|ArXiv.org|Mar 19, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 40被引用 4

一句话总结

本综述研究复流形中不动点处的离散全纯局部动力系统，重点关注稳定集的结构及其内部的动力学。当导数的特征值为1（重数为1）且其余特征值模小于1时，建立了系统与更简单标准形拓扑共轭的条件，从而在非共振和Bryuno型条件下实现了完整的拓扑分类。

ABSTRACT

This is a survey on local dynamics of holomorphic maps in one and several complex variables, discussing in particular normal forms and the structure of local stable sets in the non-hyperbolic case, and including several proofs and a vast bibliography. It updates and enlarge the previous survey arXiv:math/0310089v1.

研究动机与目标

• 通过拓扑共轭与全纯共轭对复流形中不动点处的离散全 holomorphic 局部动力系统进行分类。
• 确定此类系统在特征值1重数为1时与简单标准形共轭的条件，特别是该情况。
• 识别在特征值1及无理旋转数存在时，不变曲线或流形存在的条件。
• 探讨不变量与共振条件在不动点附近分类动力系统中的作用。
• 将已知的线性化与标准形结果推广至半吸引及非线性化情形。

提出的方法

• 使用局部坐标将全纯映射表示为：与恒等映射相切的部分被分离，其余部分模更小。
• 应用 Pöschel–Bryuno 理论，在旋转数满足 Bryuno 条件时，将不变圆盘上的动力系统线性化。
• 应用标准形理论及正常双曲系统的结果，在非共振条件下对动力系统进行分类。
• 利用特征方向与广义特征子空间构造与特定方向相切的不变流形。
• 应用 Rivi 和 Di Giuseppe 的定理，对特征值1与其他模小于1的特征值共存的系统进行分类。
• 利用全纯不变量确定拓扑共轭类，尤其在一般情形下。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，不动点处的全纯局部动力系统与线性部分或简单标准形拓扑共轭？
• RQ2 当特征值1与其他模小于1的特征值共存时，是否存在不变复曲线或流形？
• RQ3 共振条件与 Bryuno 条件在特征值1的不动点附近动力系统线性化过程中起何作用？
• RQ4 在非线性化情形下，全纯不变量如何区分拓扑共轭的动力系统？
• RQ5 稳定集的结构如何，其与吸引或抛物行为的存在性有何关联？

主要发现

• 当不动点处导数的特征值1具有代数与几何重数均为1，且其余所有特征值模小于1时，系统与线性部分或特定非线性标准形拓扑共轭。
• 在非共振与 Bryuno 条件下，1维不变圆盘上的动力系统与无理旋转共轭，从而确保该圆盘上线性化。
• 对于具有特征值1及非共振且模小于1的其他特征值的映射，拓扑分类仅产生两类可能：线性映射或特定非线性扰动。
• 在涉及两个新全纯不变量的通用条件下，可保证存在与特征值1的特征子空间相切的抛物曲线，如 Bracci 与 Molino 所示。
• 当特征值1的重数大于1时，动力系统可分解为与恒等映射相切的部分与压缩部分，且在非退化的特征方向上出现不变流形。
• 在二维情形下，若非1特征值满足 Bryuno 条件，则存在1维不变全纯圆盘，映射在该圆盘上与旋转共轭。