[论文解读] Discrete local holomorphic dynamics

Marco Abate|ArXiv.org|Oct 7, 2003

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 32被引用 8

一句话总结

本综述全面概述了复流形上固定点附近的离散局部全纯动力系统，重点研究稳定集 $ K_f $ 的结构、其上的动力行为，以及通过共轭到标准型的分类。主要结果包括：半吸引系统存在抛物流形，以及当其他特征值满足Bryuno条件时，存在切于特征值1的特征空间的不变曲线的条件。

ABSTRACT

This is a survey on the local structure about a fixed point of discrete finite-dimensional holomorphic dynamical systems, discussing in particular the existence of local topological conjugacies to normal forms, and the structure of local stable sets in the non-hyperbolic case. The author hopes to keep the survey up to date, and thus it would be grateful to anybody pointing out missing (or mistaken) results and references, and/or suggesting topics to be included or expanded in it.

研究动机与目标

• 理解全纯局部动力系统在固定点处稳定集 $ K_f $ 的拓扑与动力结构。
• 通过全纯或拓扑共轭将此类系统分类为更简单的标准型。
• 识别决定共轭类的不变量，并探讨在特定谱条件下不变子流形的存在性。
• 研究特征值为1且其他特征值模小于1的半吸引系统的动力行为。
• 建立在其他特征值满足Bryuno条件时，存在切于特征值1的特征空间的抛物曲线的条件。

提出的方法

• 将稳定集定义为 $ K_f = \bigcap_{k=0}^\infty f^{-k}(U) $，即所有迭代均有定义的最大区域。
• 使用全纯或拓扑局部共轭，将系统简化为更简单的、动力等价的标准型。
• 在局部坐标下表示 $ f $，使得 $ f_1(z,w) $ 与恒等映射相切，而 $ f_2(z,w) $ 具有压缩动力。
• 应用标准型理论和正常双曲系统理论的结果，分析不变流形的存在性。
• 利用Bryuno条件和新的全纯不变量，确定在特征值为1和 $ e^{2\pi i\theta} $ 的情况下抛物曲线的存在性。
• 利用Rivi以及Bracci–Molino关于在Bryuno条件下，不变曲线与无理旋转共轭的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 稳定集 $ K_f $ 的拓扑结构是什么？其内部何时非空？
• RQ2 系统 $ (K_f, f) $ 的动力结构如何，包括渐近行为、稠密轨道或不变子集的存在性？
• RQ3 每个全纯局部动力系统是否都能全纯或拓扑共轭于标准型？决定此类系统分类的不变量是什么？
• RQ4 在特征值为1且其他特征值为压缩的半吸引系统中，何时存在抛物流形或不变曲线？
• RQ5 当全纯映射的特征值为1和 $ e^{2\pi i\theta} $，且 $ \theta $ 满足Bryuno条件时，是否存在全纯不变曲线切于特征值1的特征空间？

主要发现

• 对于特征值1的重数为 $ q $，其他特征值模小于1的半吸引系统，存在 $ \nu - 1 $ 个互不相交的 $ f $-不变的 $ (n-q+1) $ 维复子流形 $ M_j $，其轨道切于 $ \mathbb{C}v \oplus E $，其中 $ v $ 为非退化的特征方向，$ E $ 为压缩特征值的广义特征子空间之和。
• 当特征值1非退化且另一特征值 $ \lambda_2 $ 满足 $ |\lambda_2| \neq 0,1 $ 时，若 $ \lambda_1 $ 为单位根的本原 $ q $ 次单位根，则系统拓扑共轭于 $ (z,w) \mapsto (\lambda_1 z + z^{kq+1}, \lambda_2 w) $，其中 $ k \in \mathbb{N}^* $。
• 若特征值 $ e^{2\pi i\theta} \neq 1 $ 满足Bryuno条件，则 $ f $ 共轭于通过原点的1维全纯圆盘上的无理旋转。
• 对于特征值为1和 $ e^{2\pi i\theta} $ 的一般映射，Bracci与Molino给出了抛物曲线存在的充分条件（以两个新全纯不变量表示），这些曲线切于特征值1的特征空间。
• 在映射的泛性条件下，即使不假设旋转角满足Bryuno条件，此类抛物曲线的存在性仍可保证。
• 本文表明半吸引系统的全纯分类问题仍未解决，但通过Canille Martins的结果，在二维情况下可实现拓扑分类。