[论文解读] Discrete series of odd general spin groups

Yeansu Kim, Ivan Matić|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文通过使用改进的 Mœglin-Tadić 可接受三元组框架，为特征为零的非阿代尔局部域上的奇数一般自旋群，建立了一个简化且统一的非尖点离散系列表示分类。作者通过系统化的雅可比模计算取代复杂的相互作用算子理论，提供了一种更具体且可直接应用的分类方法，该方法可推广至其他半单 $p$-进群。

ABSTRACT

We obtain a classification of discrete series representations of odd general spin groups, generalizing the Mœglin-Tadić classification for classical groups. Using mostly algebraic methods, available in both classical and the odd general spin case, we provide a simplified and shorter version of the classification of non-cuspidal discrete series in terms of the admissible triples. The presented classification can potentially be directly applied to many other reductive $p$-adic groups.

研究动机与目标

• 将 Mœglin-Tadić 对经典群离散系列表示的分类推广至特征为零的非阿代尔局部域上的奇数一般自旋群。
• 通过用代数雅可比模技术替代微妙的相互作用算子理论，简化并统一分类证明。
• 仅通过雅可比模定义 $\epsilon$-函数，实现更具体的刻画，避免解析延拓。
• 在非尖点离散系列的同构类与可接受三元组之间建立双射对应关系，并给出一种新的、更直接的构造方法。
• 证明该分类可直接应用于其他半单 $p$-进群，包括偶数一般自旋群和相似性经典群。

提出的方法

• 通过若尔当块、部分尖点支持和 $\epsilon$-函数定义，建立非尖点离散系列表示与可接受三元组之间的双射对应关系。
• 使用雅可比模技术计算并刻画连续若尔当块对上的 $\epsilon$-函数，从而取代标准相互作用算子的需要。
• 仅在连续对 $((a_-,\rho),(a,\rho))$ 上定义 $\epsilon$-函数，简化了单射性证明中的技术挑战。
• 基于 [24]、[26] 和 [16] 的方法，采用归纳构造法证明满射性，显著缩短了原始 Mœglin-Tadić 论证的长度。
• 利用平方可积性准则和部分尖点支持的唯一性，确保分类既单射又满射。
• 利用 [22, 第4节] 中关于经典群情形的雅可比模计算结果，避免在 GSpin 情形下的重复计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过代数方法简化并扩展 Mœglin-Tadić 对经典群离散系列的分类，以适用于奇数一般自旋群？
• RQ2 如何仅通过雅可比模数据重新定义 $\epsilon$-函数，从而避免对相互作用算子进行解析延拓？
• RQ3 在连续若尔当块对上定义 $\epsilon$-函数，对证明单射性有何结构优势？
• RQ4 能否通过一种归纳构造法证明分类映射的满射性，从而避免 Mœglin 和 Tadić 原始论证中的冗长推导？
• RQ5 该分类方法在多大程度上可直接应用于经典群和奇数一般自旋群之外的其他半单 $p$-进群？

主要发现

• 本文在奇数一般自旋群的非尖点离散系列表示的同构类与可接受三元组之间建立了自然的双射关系。
• $\epsilon$-函数完全通过雅可比模定义，从而在定理 1.1(3) 中得到了明确刻画 (i)、(ii) 和 (iii)，这些刻画在原始 Mœglin-Tadić 框架中并不存在。
• 通过在连续对上对 $\epsilon$-函数进行精细化定义，证明了分类映射的单射性，避免了早期方法中的技术困难。
• 通过基于 [24]、[26] 和 [16] 的归纳程序，建立了满射性，显著缩短了 [22] 中原始证明的长度。
• 证明该分类可直接应用于其他半单 $p$-进群，包括偶数一般自旋群和相似性经典群。
• 对每个可接受三元组，均存在唯一一个实现它的离散系列表示，该结果通过诱导表示的构造和子表示的唯一性得到证明。