[论文解读] Discrete Torsion and Gerbes II

Eric Sharpe|ArXiv.org|Sep 16, 1999

Geometric and Algebraic Topology参考文献 48被引用 30

一句话总结

本文通过将规范群作用提升到带有联络的1-gerbe时的模糊性，以堆和gerbe为工具，对弦理论中的离散扭量进行了几何推导。证明了带有联络的gerbe的等变结构集合在包含 $ H^2(\tilde{\Gamma}, U(1)) $ 的群作用下构成一个扭子（torsor），从而首次从几何第一原理出发，将离散扭量解释为B场的轨道Wilson线的类比。

ABSTRACT

In a previous paper we outlined how discrete torsion can be understood geometrically as an analogue of orbifold U(1) Wilson lines. In this paper we shall prove the remaining details. More precisely, in this paper we describe gerbes in terms of objects known as stacks (essentially, sheaves of categories), and develop much of the basic theory of gerbes in such language. Then, once the relevant technology has been described, we give a first-principles geometric derivation of discrete torsion. In other words, we define equivariant gerbes, and classify equivariant structures on gerbes and on gerbes with connection. We prove that in general, the set of equivariant structures on a gerbe with connection is a torsor under a group which includes H^2(G,U(1)), where G is the orbifold group. In special cases, such as trivial gerbes, the set of equivariant structures can furthermore be canonically identified with the group.

研究动机与目标

• 提供一种几何的、基于第一性原理的离散扭量理解方式，避免使用人为假设。
• 利用堆（层的范畴）作为基础框架，发展gerbe理论。
• 对gerbe及其带有联络的结构的等变结构进行分类，特别是在轨道群作用的背景下。
• 建立离散扭量与将群作用提升到带有联络的gerbe时的障碍之间的精确对应关系。
• 纠正并完善早期的主张，表明等变结构的空间是在一个包含 $ H^2(\Gamma, U(1)) $ 的群作用下的扭子，但未必等于该群。

提出的方法

• 通过堆（即层的范畴）形式化gerbe，从而为B场作为1-gerbe上的联络提供几何语言。
• 通过函子 $ \Phi_g: g^*\mathcal{C} \to \mathcal{C} $ 和满足一致性条件的可逆2-箭头 $ \psi_{g_1,g_2} $ 定义等变gerbe。
• 利用堆和gerbe的拉回与下降理论，分析等变结构及其分类。
• 将空间 $ M $ 上的gerbe与循环空间 $ LM $ 上的丛联系起来，其中等变结构对应于带有联络的等变丛。
• 分析循环空间上的规范变换，表明只有平凡的常数变换可由 $ M $ 上的gerbe产生，这意味着多个gerbe结构可诱导出 $ LM $ 上相同的丛结构。
• 采用层上同调与非交换上同调技术，对等变gerbe及其联络进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从几何角度理解离散扭量，而非将其视为轨道模型路径积分中的一种现象学模糊性？
• RQ2 精确的数学结构是什么，用于分类将轨道群作用提升到gerbe与联络的可能方式？
• RQ3 等变gerbe的分类与上同调群 $ H^2(\Gamma, U(1)) $ 有何关系？
• RQ4 为何早期主张将等变结构空间直接等同于 $ H^2(\Gamma, U(1)) $ 需要修正？
• RQ5 循环空间构造在多大程度上有助于验证或约束基空间上等变gerbe的分类？

主要发现

• 带有联络的gerbe的等变结构集合在包含 $ H^2(\Gamma, U(1)) $ 的群作用下构成一个扭子，但该群未必等于 $ H^2(\Gamma, U(1)) $。
• 离散扭量作为将轨道群作用提升到带有联络的1-gerbe时的几何障碍而出现，其作用类似于线丛中的Wilson线。
• 等变gerbe由满足一致性公理的函子 $ \Phi_g $ 和2-箭头 $ \psi_{g_1,g_2} $ 分类，推广了等变向量丛的概念。
• 在循环空间 $ LM $ 上，仅能从 $ M $ 上的gerbe产生平凡的常数规范变换，这意味着多个gerbe结构可诱导出 $ LM $ 上相同的丛结构。
• 分析表明，等变结构之间的差异无法被 $ H^2(\Gamma, U(1)) $ 完全捕捉，提示此前被忽略的额外自由度。
• 本文纠正了早期主张：虽然 $ H^2(\Gamma, U(1)) $ 是相关群的子群，但完整的障碍群更大，且等变结构的空间是在该更大群作用下的扭子。