[论文解读] Dissipative Mechanical Systems with Delay

I. D. Albu, Mihaela Neamţu+1 more|ArXiv.org|Dec 20, 2004

Neural Networks Stability and Synchronization参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对李代数上欧拉-庞加莱与李-泊松系统的新型带时滞耗散机制，通过带时滞的双重括号形式在保持余伴从轨道不变的同时耗散能量。主要贡献在于对自由刚体带时滞系统中霍普夫分岔的临界时滞值（$\tau_0$）及其稳定性特性进行了分析，明确计算了分岔方向、稳定性及周期解的周期。

ABSTRACT

The idea of dissipative mechanical system with delay is proposed. The paper studies the phenomenon of dissipation with delay for Euler-Poincare systems on Lie algebras or equivalently, for Lie-Poisson systems on the duals of Lie algebras. The study was suggested by the work [2] and it is ended with a discussion regarding the stability and the Hopf bifurcations for the free rigid body with delay.

研究动机与目标

• 开发一种适用于带时滞的耗散机械系统的通用框架，以保持余伴从轨道的几何结构。
• 通过引入过去状态（时滞）扩展机械系统中的耗散概念，同时保持角动量守恒。
• 分析自由刚体在时滞耗散下的稳定性与分岔行为，特别关注霍普夫分岔。
• 在自由刚体带时滞的背景下，提供临界时滞值与分岔参数的显式解析表达式。

提出的方法

• 使用流形上的滞后型泛函微分方程表述动力学，通过带时滞的对称双重括号项引入时滞。
• 以广义双重括号形式引入带时滞的耗散项，确保能量耗散的同时不破坏余伴从轨道的不变性。
• 将该方法应用于李代数上的欧拉-庞加莱系统与对偶李代数上的李-泊松系统，采用泊松括号形式。
• 推导系统在平衡点附近的线性化系统的特征方程，以分析稳定性与霍普夫分岔条件。
• 采用中心流形约化与正规形理论，计算分岔分析所需的临界正规形系数（$C_1(0)$，$\mu_2$，$T_2$，$\beta_2$）。
• 利用多尺度法与复化技术，推导中心流形上的约化动力学，得到振幅的标量方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在李代数上的机械系统中构造一种带时滞的耗散机制，同时保持余伴从轨道不变？
• RQ2 自由刚体带时滞系统在何种条件下表现出霍普夫分岔？时滞如何影响系统稳定性？
• RQ3 分岔出的周期解的方向、稳定性与周期如何依赖于系统参数与时滞？
• RQ4 双重括号带时滞形式能否推广至其他机械系统，如重摆或朗道-利夫希茨系统？
• RQ5 时滞在诱导或改变保守机械系统分岔行为中起何种作用？

主要发现

• 当 $I_1 = 0.8$，$I_2 = 0.5$，$I_3 = 0.4$，$\alpha = 0.3$，$m = 1.5$ 时，临界时滞 $\tau_0 = 0.88154$ 且 $\omega_0 = 3.20631$，$\mu_2 = 0.00958 > 0$，表明为超临界霍普夫分岔。
• 在相同参数下，当 $m = 1.8$ 时，$\tau_0 = 0.88154$ 且 $\omega_0 = 0.68547$，$\mu_2 = 0.00344 > 0$，再次确认为超临界霍普夫分岔。
• 当 $m = 1.5$ 时，$\beta_2 = -0.00139$ 表明分岔出的周期解具有轨道稳定性；当 $m = 1.8$ 时，$\beta_2 = 0.00097$ 表明其不稳定。
• 当 $T_2 > 0$ 时，分岔解的周期增加，两种情况下均观察到 $T_2 = 0.00057$ 与 $T_2 = 0.00050$。
• 正规形系数 $C_1(0) = \frac{1}{2}g_{21}$ 被显式计算，并用于通过 $\mu_2$ 与 $\beta_2$ 确定分岔方向与稳定性。
• 中心流形上的解由约化标量方程 $\dot{u}(t) = \frac{1}{2}g_{21}u(t)^2\overline{u}(t)$ 描述，其中 $g_{21}$ 由系统参数与时滞导出。