[论文解读] Distinct distances between points and lines

Micha Sharir, Shakhar Smorodinsky+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2015

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 15被引用 6

一句话总结

该论文利用先进的关联几何与直线、圆、球面之间的切线界，建立了平面与三维空间中 m 个点和 n 条直线之间不同距离数的新下界。在 ℝ² 中，当 m¹/² ≤ n ≤ m² 时，不同点线距离的数量为 Ω(m¹/⁵n³/⁵)；在 ℝ³ 中，在特定几何约束下，其数量为 Ω(min{m¹/⁴n¹/⁴⁻ᴱ, n})，其中 ε > 0 任意。

ABSTRACT

We show that for $m$ points and $n$ lines in the real plane, the number of distinct distances between the points and the lines is $Ω(m^{1/5}n^{3/5})$, as long as $m^{1/2}\le n\le m^2$. We also prove that for any $m$ points in the plane, not all on a line, the number of distances between these points and the lines that they span is $Ω(m^{4/3})$. The problem of bounding the number of distinct point-line distances can be reduced to the problem of bounding the number of tangent pairs among a finite set of lines and a finite set of circles in the plane, and we believe that this latter question is of independent interest. In the same vein, we show that $n$ circles in the plane determine at most $O(n^{3/2})$ points where two or more circles are tangent, improving the previously best known bound of $O(n^{3/2}\log n)$. Finally, we study three-dimensional versions of the distinct point-line distances problem, namely, distinct point-line distances and distinct point-plane distances. The problems studied in this paper are all new, and the bounds that we derive for them, albeit most likely not tight, are non-trivial to prove. We hope that our work will motivate further studies of these and related problems.

研究动机与目标

• 建立平面中 m 个点与 n 条直线之间不同距离数的非平凡下界。
• 将分析扩展至三维空间，在几何构型约束下推导相关下界。
• 将点线距离问题转化为直线与圆之间切点对的上界问题，该问题本身具有独立研究价值。
• 改进平面中 n 个圆之间切点数目的现有上界，实现 O(n³/²) 而非 O(n³/² log n)。

提出的方法

• 将不同点线距离问题转化为平面中直线与圆之间切点对的计数问题。
• 应用关联几何工具，特别是 Szemerédi-Trotter 定理及其推广，以控制重复距离的数量。
• 使用四维参数空间建模 ℝ³ 中的球面与直线，将切线关系映射为点与抛物柱面的关联。
• 应用 Fox 等人（2012 年）的最新关联界，以控制球面与直线之间的切点对数量。
• 引入禁止构型条件（禁止出现 4×4 锥面/柱面/双曲面构型），以避免三维分析中的退化情况。
• 通过反证法与自由度分析推导渐近下界，利用密集关联结构的缺失。

实验结果

研究问题

• RQ1 在合理约束下，平面中 m 个点与 n 条直线之间的最小不同距离数是多少？
• RQ2 ℝ³ 中点线距离数与 ℝ² 中相比如何？在何种几何约束下可推导出有意义的下界？
• RQ3 平面中 n 个圆之间的切点对数能否比 O(n³/² log n) 更紧密地界定？
• RQ4 不同点线距离与 ℝ³ 中球面与直线的关联结构之间有何关系？
• RQ5 点线距离问题在多大程度上可被约化为圆、球面等几何对象之间的切线问题？

主要发现

• 在 ℝ² 中，当 m¹/² ≤ n ≤ m² 时，m 个点与 n 条直线之间的不同点线距离数为 Ω(m¹/⁵n³/⁵)，这是此类形式的首个非平凡下界。
• 对于不全共线的 m 个点，其张成直线之间的不同距离数为 Ω(m⁴/³)，这是点集张成直线情形下的更强下界。
• 平面中 n 个圆之间的切点对数至多为 O(n³/²)，优于此前的 O(n³/² log n) 上界。
• 在 ℝ³ 中，若不形成 4×4 锥面/柱面/双曲面构型，则对任意 ε > 0，不同点线距离数为 Ω(min{m¹/⁴n¹/⁴⁻ᴱ, n})。
• 证明方法将三维点线距离问题约化为 ℝ⁴ 中点与抛物柱面之间的关联问题，从而可应用现代关联定理。
• 结果表明，点线距离问题本质上与切线及关联结构相关，且这些结构可通过高维几何嵌入进行分析。