[论文解读] Distributed Approximation Algorithms for Weighted Shortest Paths

Danupon Nanongkai|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 38被引用 30

一句话总结

本文提出了一种在加权无向网络中基于 CONGEST 模型的分布式算法，用于近似计算单源最短路径（SSSP），在 Õ(n¹ᐟ²D¹ᐟ⁴ + D) 时间内实现 (1+o(1))-近似。该工作引入了两种新颖工具——轻量级有界跳数 SSSP 和通过捷径实现的最短路径直径压缩——使得在近乎最优精度下实现亚线性时间计算成为可能。

ABSTRACT

A distributed network is modeled by a graph having $n$ nodes (processors) and diameter $D$. We study the time complexity of approximating {\em weighted} (undirected) shortest paths on distributed networks with a $O(\log n)$ {\em bandwidth restriction} on edges (the standard synchronous \congest model). The question whether approximation algorithms help speed up the shortest paths (more precisely distance computation) was raised since at least 2004 by Elkin (SIGACT News 2004). The unweighted case of this problem is well-understood while its weighted counterpart is fundamental problem in the area of distributed approximation algorithms and remains widely open. We present new algorithms for computing both single-source shortest paths (\sssp) and all-pairs shortest paths (\apsp) in the weighted case. Our main result is an algorithm for \sssp. Previous results are the classic $O(n)$-time Bellman-Ford algorithm and an $ ilde O(n^{1/2+1/2k}+D)$-time $(8k\lceil \log (k+1) ceil -1)$-approximation algorithm, for any integer $k\geq 1$, which follows from the result of Lenzen and Patt-Shamir (STOC 2013). (Note that Lenzen and Patt-Shamir in fact solve a harder problem, and we use $ ilde O(\cdot)$ to hide the $O(\poly\log n)$ term.) We present an $ ilde O(n^{1/2}D^{1/4}+D)$-time $(1+o(1))$-approximation algorithm for \sssp. This algorithm is {\em sublinear-time} as long as $D$ is sublinear, thus yielding a sublinear-time algorithm with almost optimal solution. When $D$ is small, our running time matches the lower bound of $ ilde Ω(n^{1/2}+D)$ by Das Sarma et al. (SICOMP 2012), which holds even when $D=Θ(\log n)$, up to a $\poly\log n$ factor.

研究动机与目标

• 解决长期存在的开放问题：在分布式加权网络中，近似是否能加速最短路径计算？
• 在带宽为 O(log n) 的 CONGEST 模型下，设计一种运行时间为 sublinear 的 SSSP (1+o(1))-近似算法。
• 通过实现依赖于网络直径 D 的近似最优运行时间，改进先前的 Õ(n¹ᐟ²⁺¹ᐟ²ᵏ + D)-时间算法。
• 将结果扩展至全源最短路径（APSP），提供一种 Õ(n)-时间的 (1+o(1))-近似算法。
• 通过证明 APSP 近似问题的匹配下界，建立紧致界限，从而填补分布式复杂性理论中的关键空白。

提出的方法

• 提出一种轻量级算法用于有界跳数的单源最短路径，支持高效本地计算并最小化通信开销。
• 开发一种基于捷径的最短路径直径压缩技术，以压缩叠加网络的有效直径。
• 构建一个叠加网络，使其最短路径直径减小，同时保持近似距离不变。
• 利用递归分解与分层聚合，在 Õ(n¹ᐟ²D¹ᐟ⁴ + D) 时间内计算近似距离。
• 借助基于捷径的直径压缩技术，加速网络中距离估计的收敛过程。
• 将相同技术应用于完全连通网络，实现 Õ(√n)-时间的精确 SSSP 和 (2+o(1))-近似的 APSP。

实验结果

研究问题

• RQ1 近似是否能显著降低在分布式加权网络中计算最短路径的时间复杂度？
• RQ2 在 CONGEST 模型中，SSSP 的近似比与运行时间之间最优权衡是什么？
• RQ3 能否通过捷径高效地压缩最短路径直径，以实现更快的分布式计算？
• RQ4 在完全连通网络中，是否可能实现亚线性时间的精确 SSSP？
• RQ5 在分布式环境中，近似计算 APSP 的紧致下界是什么？

主要发现

• 本文提出了一种 Õ(n¹ᐟ²D¹ᐟ⁴ + D)-时间算法，用于 (1+o(1))-近似 SSSP，当 D 为亚线性时，该算法为亚线性时间。
• 该算法在多对数因子范围内匹配已知的 Õ(n¹ᐟ² + D) 下界，表明其近乎紧致。
• 针对 APSP，获得了 Õ(n)-时间的 (1+o(1))-近似算法，优于先前的 O(1)-近似结果。
• 证明了 APSP 近似问题的匹配下界，表明该算法在多对数因子范围内为最优。
• 对于完全连通网络，实现了 Õ(√n)-时间的精确 SSSP 算法，并提供了 (2+o(1))-近似的 APSP 算法。
• 所提出的工具——轻量级有界跳数 SSSP 和基于捷径的直径压缩——可广泛应用于最短路径以外的场景。